с граничными условиями задачи (4) работа вектора поверхностных
усилий обращается в нуль:
S
∙
δ
˜W = 0
при
r
= 0
,
z
= 0
,
1
/
2
.
В цилиндрической системе координат система (7) имеет вид
Z
V
g
(
T
rr
δD
rr
+
T
zz
δD
zz
+ 2
T
rz
δD
rz
+
T
θθ
δD
θθ
)
dV
=
=
2
X
α
=1
Z
Σ
g
S
α
δ
˜
W
α
d
Σ
−
Z
V
g
δ
˜
W
z
dV
g
;
Z
V
g
(
D
rr
+
D
zz
+
D
θθ
)
δ
˜
pdV
g
= 0
.
(8)
Метод конечных элементов для решения вариационной задачи.
Для решения системы вариационных уравнений (8) применен метод
конечных элементов с 6-узловым треугольным конечным элементом
(КЭ), который отличается от классического 6-узлового КЭ [12] тем,
что имеет 15 степеней свободы: по две компоненты вектора скорости
˜
W
r
,
˜
W
z
в каждом узле и по одному значению давления
˜
P
=
p
в каждой
вершине треугольника. Аппроксимация в каждом КЭ по скоростям —
квадратичная, а по давлению — линейная:
{
W
}
2
= [
Ф
]
2
×
12
{
q
}
12
, p
1
=
{
Ф
p
}
T
3
{
y
}
3
,
(9)
где
{
W
}
= (
W
1
, W
2
) = ( ˜
W
r
,
˜
W
z
)
— координатный столбец скоростей
в КЭ;
{
q
}
— координатный столбец скоростей в узлах;
{
y
}
— коорди-
натный столбец давлений в вершинах КЭ.
Матрица
[
Ф
]
и столбец
{
Ф
p
}
имеют следующий вид:
[
Ф
]
2
×
12
= [
Ф
αβ
] =
=
Ф
1
0
Ф
2
0
Ф
3
0
Ф
4
0
Ф
5
0
Ф
6
0
0
Ф
1
0
Ф
2
0
Ф
3
0
Ф
4
0
Ф
5
0
Ф
6
;
(10)
{
Ф
p
}
T
= (
L
1
L
2
L
3
)
,
где
Ф
1
=
L
1
(2
L
1
−
1);
Ф
2
=
L
2
(2
L
2
−
1);
Ф
3
=
L
3
(2
L
3
−
1);
Ф
4
= 4
L
1
L
2
;
Ф
5
= 4
L
2
L
3
;
Ф
6
= 4
L
1
L
3
;
L
i
=
1
2
S
e
a
(
i
)
+
b
(
i
)
r
+
c
(
i
)
z
;
a
(1)
=
r
(2)
z
(3)
−
r
(3)
z
(2)
;
b
(1)
=
z
(2)
−
z
(3)
;
c
(1)
=
r
(3)
−
r
(2)
;
2
S
e
=
b
(1)
c
(2)
−
b
(2)
c
(1)
,
(11)
94
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 3
