ячейки периодичности (в первом квадранте
˜
V
ξ
=
{
ξ
i
: 0
6
ξ
i
6
1
/
2
})
и являющихся решениями краевой задачи
r ∙
˜W = 0;
− r
ξ
˜
P
+
μ
Δ ˜W = e
z
,
в
˜
V
ξg
;
˜Σ
ξsg
: ˜
W
r
= ˜
W
z
= 0
,
r
= 0 :
˜
W
r/z
= 0
,
˜
W
z
= 0
,
˜
P
/z
= 0;
z
= 0 :
˜
W
r/r
= 0
,
˜
W
z
= 0
,
˜
P
= 0;
z
= 1
/
2 :
˜
W
r
= ˜
W
z
= 0
,
˜
P
= 0
,
(4)
где
˜
V
ξg
= ˜
V
ξ
∩
V
ξg
— область течения, а
Σ
ξsg
= ˜
V
ξ
∩
Σ
ξsg
— твердая
стенка в
1
/
4
ЯП.
Вариационная формулировка локальной задачи.
Введем обо-
значения для тензора напряжений
T
и тензора скоростей деформа-
ций
D
T =
−
˜
P
E +
μ
D
,
D =
1
2
(
r
ξ
˜
W
+
r
ξ
˜
W
T
)
,
(5)
имеющих в осесимметричном случае следующие ненулевые компо-
ненты
T
rr
,
T
zz
,
T
θθ
,
T
rz
и
D
rr
,
D
zz
,
D
θθ
,
D
rz
, определяемые как
D
rr
=
∂
˜
W
r
∂r
, D
zz
=
∂
˜
W
z
∂z
, D
θθ
=
˜
W
r
r
, D
rz
=
1
2
∂
˜
W
r
∂z
+
∂
˜
W
z
∂r
,
T
rr
=
−
p
+
μD
rr
, T
zz
=
−
p
+
μD
zz
, T
θθ
=
−
p
+
μD
θθ
, T
rz
=
μD
rz
,
(6)
где
E
— метрический тензор. Тогда уравнение равновесия в задаче (4)
можно представить в дивергентном виде
r
ξ
∙
T = e
z
. Если ввести ки-
нематически возможное поле скоростей
δ
˜W
и вариацию давления
δ
˜
p
,
то, умножая скалярно уравнение равновесия на
δ
˜W
, а уравнение не-
сжимаемости в (4) на
δ
˜
p
, а затем интегрируя получившиеся выражения
по области
˜
V
, получаем систему двух вариационных уравнений
Z
V
g
T
∙ ∙
δDdV
g
=
Z
Σ
g
S
∙
δ
˜
WdV
g
−
Z
V
g
e
z
∙
δ
˜
WdV
g
;
Z
V
g
r
ξ
∙
˜
Wδ
˜
pdV
g
= 0
.
(7)
Здесь мы использовали формулы преобразования произведения [11]
(
r
ξ
∙
T)
∙
δ
˜W =
r
ξ
∙
(T
∙
δ
˜W)
−
T
∙ ∙
δ
r
ξ
˜W
, а также формулу
Гаусса–Остроградского и ввели обозначения для вектора нормали к
поверхности
Σ
g
области
˜
V
g
˜
V
ξg
n
и вектора усилий
S = n
∙
T
.
Заметим, что на всей границе области течения
˜
V
ξg
в соответствии
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 3
93
