а
r
(
i
)
,
z
(
i
)
— координаты вершин треугольника. Остальные коэффи-
циенты
a
(
i
)
,
b
(
i
)
,
c
(
i
)
получаются с помощью круговой перестановки
индексов;
S
e
— площадь КЭ;
V
g
= 2
πS
e
— объем КЭ.
Координатный столбец скоростей деформаций
{
D
}
T
=
= (
D
1
, D
2
, D
3
, D
4
) = (
D
rr
, D
zz
, D
θθ
,
√
2
D
rz
)
представим в виде
{
D
}
=
= [
B
]
{
q
}
, где
[
B
]
4
×
12
= [
{
B
(1)
}
, . . . ,
{
B
(
χ
)
}
, . . . ,
{
B
(12)
}
];
{
B
(
χ
)
}
4
T
= (
L
χ
11
, L
χ
22
, L
χ
33
,
(
L
χ
12
+
L
χ
21
)
/
2);
L
χ
αβ
=
1
H
α
∂
Ф
βχ
∂X
α
−
Ф
αχ
H
α
H
β
∂H
α
∂X
β
+
δ
αβ
3
X
γ
=1
Ф
γχ
H
α
H
γ
∂H
α
∂X
γ
;
χ
= 1
. . .
12;
α, β
= 1
,
2
.
(12)
Вариации компонент вектора скоростей и тензора скоростей де-
формаций, а также давления
p
с помощью (9) принимают вид
δ
{
W
}
= [
Ф
]
δ
{
q
}
;
δp
=
{
Ф
p
}
T
δ
{
y
}
;
δ
{
D
}
= [
B
]
δ
{
q
}
.
(13)
Введем координатный столбец напряжений
{
T
}
T
=(
T
1
, T
2
, T
3
, T
4
)=
= (
T
rr
, T
zz
, T
θθ
,
√
2
T
rz
)
, который на основании определяющих выра-
жений (6) связан с координатным столбцом скоростей деформаций
линейным соотношением
{
T
}
4
=
−
[
Ф
p
]
4
×
3
{
y
}
3
+
μ
{
D
}
4
,
(14)
где
[
Ф
p
]
4
×
3
=
{
I
0
}
4
{
Ф
p
}
T
3
— матрица, образованная диадным умножением
столбцов;
{
I
0
}
T
= (1
,
1
,
1
,
0)
;
{
I
z
}
T
= (0
,
1)
.
Введем также координатный столбец внешних усилий
{
S
}
=
= (
S
1
, S
2
) = (
s
r
, s
z
)
, где
s
r
, s
z
— компоненты вектора усилий
S
на
поверхности тела. Тогда, подставив (9) и (14) в систему (8), получим
систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) для каждого
отдельного КЭ
[
K
]
12
×
12
{
q
}
12
−
[
B
p
]
12
×
3
{
y
}
3
=
{
f
}
12
;
[
B
p
]
3
×
12
T
{
q
}
12
= 0
,
(15)
где обозначены следующие локальные матрицы жесткости и векторы
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 3
95
