сти, данную задачу можно рассматривать как модель ракеты, движу-
щуюся под действием реактивной тяги, поскольку реактивная сила
является следящей.
Определяющим соотношением для материала стержня служит мо-
дель Кельвина–Фойгта
σ
=
E
(
ε
+
τ
˙
ε
)
,
где
σ
— напряжение,
ε
— деформация,
τ
— время релаксации,
E
—
модуль упругости.
Уравнение малых колебаний стержня, приведенное в книге [3],
имеет вид
EJ
∂
4
v
∂x
4
+
EJτ
∂
5
v
∂x
4
∂t
+
∂
∂x
P
l
−
x
l
∂v
∂x
+
ρf
∂
2
v
∂t
2
= 0
,
где
ρ
— плотность материала,
f
— площадь сечения,
EJ
— жесткость
сечения на изгиб.
Исследование устойчивости прямолинейной формы.
Заменой
переменных
x
→
lx, t
→
l
2
r
ρf
EJ
t, v
→
lv
уравнение движения стержня приводится к безразмерному виду
∂
4
v
∂x
4
+
k
∂
5
v
∂x
4
∂t
+
p
(1
−
x
)
∂
2
v
∂x
2
−
p
∂v
∂x
+
∂
2
v
∂t
2
= 0
,
(1)
где
k
=
r
EJ
ρf
τ
l
2
— коэффициент внутренней вязкости;
p
=
P l
2
EJ
—
безразмерная сила.
Граничные условия
∂
2
v
(0
, t
)
∂x
2
=
∂
3
v
(0
, t
)
∂x
3
= 0
,
∂
2
v
(1
, t
)
∂x
2
=
∂
3
v
(1
, t
)
∂x
3
= 0
(2)
соответствуют равенству нулю проекций на ось
y
изгибающих момен-
тов и перерезывающих сил на концах стержня.
Решение уравнения (1) будем искать в следующем виде:
v
(
x, t
) =
∞
X
n
=1
u
n
(
t
)
ϕ
n
(
x
)
,
где функции
u
n
и
ϕ
n
находятся из решения задачи
∂
4
v
∂x
4
+
∂
2
v
∂t
2
= 0
с граничными условиями (2).
Подставляя
v
n
(
x, t
) =
u
n
(
t
)
ϕ
n
(
x
)
и разделяя переменные, получим
u
n
ϕ
0000
n
+ ¨
u
n
ϕ
n
= 0
,
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 4
73
