ϕ
0000
n
ϕ
n
=
−
¨
u
n
u
n
=
δ
4
n
,
где
δ
n
— некоторая постоянная, поскольку получено равенство двух
функций, зависящих от разных переменных. Таким образом, функции
ϕ
n
(
x
)
удовлетворяют дифференциальному уравнению
ϕ
0000
n
−
δ
4
n
ϕ
n
= 0
,
(3)
общее решение которого имеет вид
ϕ
n
(
x
) =
C
1
cos
δ
n
x
+
C
2
sin
δ
n
x
+
C
3
ch
δ
n
x
+
C
4
sh
δ
n
x.
С учетом граничных условий (2) приходим к системе уравнений:
δ
2
n
(
−
C
1
+
C
3
) = 0
,
δ
3
n
(
−
C
2
+
C
4
) = 0
,
δ
2
n
(
−
C
1
cos
δ
n
−
C
2
sin
δ
n
+
C
3
ch
δ
n
+
C
4
sh
δ
n
) = 0
,
δ
3
n
(
C
1
sin
δ
n
−
C
2
cos
δ
n
+
C
3
sh
δ
n
+
C
4
ch
δ
n
) = 0
.
Для того, чтобы данная однородная система имела ненулевое ре-
шение, определитель системы должен равняться нулю:
−
δ
2
n
0
δ
2
n
0
0
−
δ
3
n
0
δ
3
n
−
δ
2
n
cos
δ
n
−
δ
2
n
sin
δ
n
δ
2
n
ch
δ
n
δ
2
n
sh
δ
n
δ
3
n
sin
δ
n
−
δ
3
n
cos
δ
n
δ
3
n
sh
δ
n
δ
3
n
ch
δ
n
= 0
,
откуда находим
ch
δ
n
cos
δ
n
= 1
.
Решением задачи (3), удовлетворяющим условиям (2), является
функция
ϕ
n
(
x
) =
γ
n
(cos
δ
n
x
+ ch
δ
n
x
) + sh
δ
n
x
+ sin
δ
n
x,
где
γ
n
=
cos
δ
n
−
ch
δ
n
sin
δ
n
+ sh
δ
n
.
Первые три значения
δ
n
таковы:
δ
1
≈
4
,
73
,
δ
2
≈
7
,
853
,
δ
3
≈
10
,
996
.
Ограничимся случаем первых трех слагаемых:
v
(
x, t
) =
u
1
(
t
)
ϕ
1
(
x
) +
u
2
(
t
)
ϕ
2
(
x
) +
u
3
(
t
)
ϕ
3
(
x
)
.
(4)
Далее выполняем следующие преобразования: подставляем выра-
жение (4) в уравнение (1), умножаем на
ϕ
i
(
x
)
,
i
= 1
,
2
,
3
, и интегриру-
ем по
x
от 0 до 1, учитывая, что
ϕ
0000
1
=
δ
4
1
ϕ
1
,
ϕ
0000
2
=
δ
4
2
ϕ
2
и
ϕ
0000
3
=
δ
4
3
ϕ
3
,
74
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 4
