b
4
=
k
2
δ
4
1
δ
4
2
(
δ
4
3
+
e
33
p
) +
δ
4
1
δ
4
3
(
δ
4
2
+
e
22
p
) +
δ
4
2
δ
4
3
(
δ
4
1
+
e
11
p
) +
+(
δ
4
1
+
e
11
p
)(
δ
4
2
+
e
22
p
)+(
δ
4
2
+
e
22
p
)(
δ
4
3
+
e
33
p
)+(
δ
4
3
+
e
33
p
)(
δ
4
1
+
e
11
p
)
−
−
p
2
(
e
12
−
α
12
)(
e
21
−
α
21
)
−
p
2
(
e
23
−
α
23
)(
e
32
−
α
32
)
−
p
2
e
13
e
31
,
b
5
=
k
(
δ
4
1
(
δ
4
2
+
e
22
p
)(
δ
4
3
+
e
33
p
) +
δ
4
2
(
δ
4
1
+
e
11
p
)(
δ
4
3
+
e
33
p
)+
+
δ
4
3
(
δ
4
1
+
e
11
p
)(
δ
4
2
+
e
22
p
)
−
δ
4
1
p
(
e
23
−
α
23
)(
e
32
−
α
32
)
−
−
δ
4
2
pe
13
e
31
−
δ
4
3
p
(
e
12
−
α
12
)(
e
21
−
α
21
))
,
b
6
=
δ
4
1
+
e
11
p p
(
e
12
−
α
12
)
e
13
p
p
(
e
21
−
α
21
)
δ
4
2
+
e
22
p p
(
e
23
−
α
23
)
e
31
p
p
(
e
32
−
α
32
)
δ
4
3
+
e
33
p
.
С помощью критерия Рауса–Гурвица при каждом конкретном зна-
чении коэффициента
k
можно определить такое значение
˜
p
, что при
0
< p <
˜
p
положение равновесия системы будет асимптотически
устойчивым. Например, при
k
= 0
,
1
находим
˜
p
≈
102
,
645
. Таким
образом, если время релаксации
τ
=
l
2
10
r
ρf
EJ
, то критическая сила
P
≈
102
,
645
EJ
l
2
.
Рассмотрим предельное значение,
lim
k
→
0
˜
p
= 87
,
812
6
=
p
, т.е. значе-
ние критической силы при коэффициенте
k
, стремящемся к нулю, не
совпадает с ее же значением при
k
= 0
. Данное явление называется
парадоксом дестабилизации. Обзор результатов, посвященных этому
парадоксу, приведен в работе [4].
Анализ собственных значений.
Исследуем поведение собствен-
ных значений
λ
в зависимости от силы
p
при малом значении коэф-
фициента
k
, а также предельный переход критической силы
˜
p
. Так как
собственные значения
λ
непрерывны как функции
k
, то при стремле-
нии коэффициента
k
к нулю, они стремятся к собственным значениям
системы при
k
= 0
.
На рис. 2 показана зависимость действительных частей корней ха-
рактеристического уравнения (8) в зависимости от величины силы
p
при некоторых малых значениях
k
. При сравнительно больших зна-
чениях
k >
10
−
4
небольшое возрастание нагрузки сверх значения
˜
p
приводит к заметному увеличению действительных частей. Однако
при малых
k
роль
˜
p
как критической нагрузки уменьшается, посколь-
ку небольшое увеличение
p
свыше значения
˜
p
уже не приводит к
большому увеличению Re
λ
. Существенное возрастание Re
λ
теперь
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 4
77
