О бикомпактных расширениях локально бикомпактных отображений - page 2

бикомпактификации
χf
для отображения
f
доказано в статье [5]. Су-
ществование морфизма нароста
χf
\
f
максимальной бикомпактифи-
кации
χf
отображения
f
на нарост
g
очевидно.
Пусть
λ
— морфизм нароста
χf
\
f
на отображение
g
. Докажем, что
морфизм
λ
совершенен. Нарост
χ
f
X
\
X
замкнут в
χ
f
X
и отображение
χf
бикомпактно, следовательно, бикомпактно отображение
χf
\
f
. По-
скольку
χf
\
f
=
g
λ
, отображение
χf
\
f
бикомпактно и отображение
g
хаусдорфово, то
λ
— совершенное отображение [4].
Пусть
с
f
Х
— дизъюнктное объединение множеств
X
и
Z
, и пусть
ϕ
= id
X
λ
:
χX
X
Z
. Введем на множестве
с
f
Х
факторную отно-
сительно отображения
ϕ
топологию. Поскольку множество
Х
открыто
в
χ
Х
, то на множестве
X c
f
X
индуцируется исходная топология и
оно открыто в
с
f
Х
, кроме того, оно всюду плотно в
с
f
Х
. Рассмотрим
отображение
с
f
:
X
Z
Y
такое, что
χf
=
cf
ϕ
. Это отображение
непрерывно (так как непрерывно
χf
и факторно
ϕ
)
и бикомпактно (так
как бикомпактно
χf
)
. Следовательно, отображение
с
f
:
X
Z
Y
является бикомпактификацией отображения
f
, для которой
cf
\
f
=
g
(как отображение множества).
Докажем, что исходная топология пространства
Z
совпадает с
ограничением топологии пространства
с
f
Х
на множество
Z
. Пусть
множество
А
замкнуто в исходном пространстве
Z
; тогда множество
ϕ
1
А
=
λ
1
А
замкнуто в замкнутом в
χ
f
X
множестве
χ
f
X
\
X
и, сле-
довательно, замкнуто в
χ
f
X
. Получаем, что множество
А
замкнуто
в пространстве
с
f
Х
. Обратно, если множество
А
Z
=
c
f
X
\
X
за-
мкнуто в
с
f
X
\
X
, то оно замкнуто в
с
f
Х
и множество
ϕ
1
А
замкнуто
в
χ
f
X
и в
χ
f
X
\
X
. Поскольку морфизм
λ
совершенный, то множе-
ство
А
=
λλ
1
(
А
Z
)
замкнуто в исходной топологии пространства
Z
. Следовательно, нарост
с
f
\
f
гомеоморфен отображению
g
.
Докажем хаусдорфовость бикомпактификации
с
f
. Для этого снача-
ла докажем, что отображение
ϕ
совершенно. Поскольку совершенное
отображение
λ
определено на замкнутом подмножестве пространства
χ
f
X
\
X
, то для любого замкнутого в
χ
f
X
множества
А
множество
ϕ
1
ϕ
А
=
А
λ
1
λ
(
А
(
χ
f
X
\
X
))
замкнуто. Получаем, что отображение
ϕ
замкнуто и, очевидно, совер-
шенно.
Пусть теперь различные точки
х
1
,
х
2
принадлежат пространству
с
f
Х
и
с
f
(
x
1
) =
cf
(
x
2
) =
y
. Поскольку отображение
ϕ
совершенно,
а отображение
χf
хаусдорфово, то дизъюнктные бикомпактные мно-
жества
ϕ
1
х
1
и
ϕ
1
х
2
отделимы насыщенными окрестностями
W
1
и
W
2
в
χ
f
X
. Образы
ϕW
1
и
ϕW
2
и будут дизъюнктными окрестностями
точек
х
1
,
х
2
. Хаусдорфовость отображения
cf
доказана.
4
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 1
1 3,4,5,6,7,8,9
Powered by FlippingBook