Отображение
с
f
непрерывно, так как
cf
=
g
◦
cλ
и непрерывны
отображения
g
и
cλ
.
Докажем, что
отображение
cf
является бикомпактификацией
отображения
f
.
Сначала докажем, что
cf
является расширением отображения
f
.
Множество
X
открыто в
c
f
X
, докажем, что оно всюду плотно
в
c
f
X
. Достаточно доказать, что любая точка множества
c
f
X
\
X
=
R
является точкой прикосновения множества
X
.
Рассмотрим
в
c
f
X
\
X
произвольную точку
r
и ее базисную окрестность
W
=
= (
cλ
)
−
1
(
O
∩
g
−
1
V
)
\
[
U
]
f
−
1
V
, где множество
О
открыто в
Z
, мно-
жество
V
открыто в
Y
, множество
U
открыто в
Х
,
U f
−
1
V
, и
отображение
f
: [
U
]
f
−
1
V
→
V
бикомпактно.
Поскольку
r
2
W
∩
(
c
f
X
\
X
)
, то
r
≡
cλ
(
r
)
cλ
(
cλ
)
−
1
O
∩
g
−
1
V
\
[
U
]
f
−
1
V
∩
(
c
f
X
\
X
)
cλ
(
cλ
)
−
1
O
∩
g
−
1
V
∩
cλ
(
c
f
X
\
X
)
O
∩
g
−
1
V
∩
R.
Множество
O
∩
g
−
1
V
является окрестностью точки
r
в
Z
, и так как
для морфизма
λ
выполняется условие 1) определения 3, то
O
∩
g
−
1
V
∩
λ f
−
1
V
\
[
U
]
f
−
1
V
6
=
?
.
Это значит, что
?
6
=
λ
−
1
O
∩
g
−
1
V
∩
f
−
1
V
\
[
U
]
f
−
1
V
=
=
λ
−
1
O
∩
g
−
1
V
\
[
U
]
f
−
1
V
∩
f
−
1
V
λ
−
1
O
∩
g
−
1
V
\
[
U
]
f
−
1
V
∩
X,
следовательно,
W
= (
cλ
)
−
1
(
O
∩
g
−
1
V
)
\
[
U
]
f
−
1
V
имеет с
Х
непустое
пересечение. Значит, множество
Х
всюду плотно в
c
f
X
. Таким обра-
зом, отображение
cf
является расширением отображения
f
.
Докажем, что отображение
cf
хаусдорфово. Пусть
x
1
6
=
x
2
и
cf
(
x
1
) =
cf
(
x
2
) =
y
. В случае
x
1
, x
2
2
X
существование дизъюнкт-
ных окрестностей точек
x
1
и
x
2
в
c
f
X
следует из хаусдорфовости
отображения
f
и определения топологии на
c
f
X
. Пусть
x
1
, x
2
2
R
.
Поскольку отображение
g
хаусдорфово, то существуют окрестности
O
1
и
O
2
точек
x
1
и
x
2
в
Z
такие, что
O
1
∩
O
2
=
?
. Тогда дизъюнктными
окрестностями точек
x
1
и
x
2
в
c
f
X
являются базисные окрестности
(
cλ
)
−
1
O
1
и
(
cλ
)
−
1
O
2
. Пусть теперь
x
1
2
X
,
x
2
2
R
. В силу локаль-
ной бикомпактности отображения
f
существуют окрестность
U X
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 1
7
