вложение пространства
Х
в
Z
=
c
f
X
=
X
∪
R
. Докажем, что
λ
явля-
ется приложением отображения
f
к подотображению
e
g
отображения
g
=
cf.
Очевидно,
λ
есть морфизм отображения
f
в отображение
cf
.
Докажем, что выполняется условие 1) определения 3. Пусть мно-
жество
V
открыто в
Y
, множество
U
открыто в
Х
,
U f
−
1
V
, и ото-
бражение
f
: [
U
]
f
−
1
V
→
V
бикомпактно. Рассмотрим произвольную
окрестность
O
z
в пространстве
Z
точки
z
2
R
∩
g
−
1
V
=
R
∩
(
cf
)
−
1
V
.
Множество
O
z
∩
(
cf
)
−
1
V
\
[
U
]
f
−
1
V
также является окрестностью
точки
z
в
c
f
X
. Поскольку
R
[
X
]
c
f
X
, то
?
6
=
O
z
∩
(
cf
)
−
1
V
\
[
U
]
f
−
1
V
∩
X
=
O
z
∩
f
−
1
V
\
[
U
]
f
−
1
V
.
Значит,
R
∩
(
cf
)
−
1
V
h
f
−
1
V
\
[
U
]
f
−
1
V
i
Z
=
h
λ f
−
1
V
\
[
U
]
f
−
1
V
i
Z
для любого открытого
V
в
Y
, любого открытого
U
в
X
, такого, что
U f
−
1
V
и отображение
f
: [
U
]
f
−
1
V
→
V
бикомпактно.
Докажем, что выполняется условие 2) определения 3. Рассмо-
трим
y
2
e
gR
и произвольную окрестность
W
слоя
e
g
−
1
y
в
c
f
X
.
Поскольку
e
g
является бикомпактным отображением, то существу-
ет окрестность
V
точки
y
такая, что
e
g
−
1
V W
∩
R
. Множе-
ство
U
= (
cf
)
−
1
V
\
W f
−
1
V
замкнуто в
cf
−
1
V
, следовательно,
f
=
cf
: [
U
]
f
−
1
V
→
V
бикомпактно и
f
−
1
V
\
U
=
λ
(
f
−
1
V
\
U
)
W
.
Докажем, что выполняется условие 3) определения 3. Отображение
f
R
=
f
: (
X
\
f
−
1
(
e
gR
))
→
Y
\
e
gR
бикомпактно как сужение бикомпакт-
ного отображения
cf
на полный прообраз множества
Y
\
e
gR
.
Таким образом, морфизм
λ
является приложением отображения
f
к подотображению
e
g
отображения
cf
.
Пусть теперь существуют отображение
g
:
Z
→
Y
, имеющее
e
g
в
качестве подотображения, и приложение
λ
отображения
f
к подото-
бражению
e
g
отображения
g
. Тогда по теореме 3 существует бикомпак-
тификация
cf
:
c
f
X
→
Y
отображения
f
такая, что
cf
\
f
=
e
g
. Теорема
доказана.
Замечание 2.
В случае одноточечного пространства
Y
из опреде-
ления 3 получается новое определение приложения пространства
Х
к
бикомпакту
В
в пространстве
Z
, которое отличается от определения 2.
Определение 4
. Отображение
f
:
X
→
Z
называется
приложением
пространства
Х
к бикомпакту
В
в пространстве
Z
, если:
1)
B
[
f
(
X
\
U
)]
Z
для любого открытого и ограниченного в
Х
множества
U
;
2) для любой окрестности
W
бикомпакта
В
в пространстве
Z
су-
ществует ограниченное в
Х
множество
U
такое, что
f
(
X
\
U
)
W
.
10
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 1
