Таким образом, отображение
cf
является бикомпактификацией
отображения
f
, нарост которой
cf
\
f
есть отображение
g
. Теорема
доказана.
Замечание 1.
В случае одноточечного пространства
Y
из теоремы 1
следует теорема Магилла.
Второе описание всех наростов бикомпактификаций локально
бикомпактного хаусдорфова отображения.
Напомним другое описа-
ние всех наростов бикомпактификаций локально бикомпактного хаус-
дорфова пространства.
Определение 1
[2]. Подмножество
U
пространства
Х
называется
ограниченным в
Х
, если
[
U
]
X
— бикомпакт.
Определение 2
[2]. Непрерывное отображение
f
:
X
→
Z
называ-
ется
приложением пространства
Х
к бикомпакту
В
в пространстве
Z
, если:
1)
[
f
(
X
)]
Z
— бикомпакт;
2)
[
f
(
X
\
U
)]
Z
=
f
(
X
\
U
)
∪
B
для любого открытого и ограничен-
ного в
Х
множества
U
;
3) для любой окрестности
W
бикомпакта
В
в пространстве
Z
су-
ществует ограниченное в
Х
множество
U
такое, что
f
(
X
\
U
)
W
.
Теорема 2
[2].
Бикомпакт
В
является наростом некоторой биком-
пактификации локально бикомпактного хаусдорфова пространства
Х
тогда и только тогда
,
когда существует приложение простран-
ства
Х
к бикомпакту
В
в хаусдорфовом пространстве
Z
.
Обобщим этот результат на локально бикомпактные хаусдорфовы
отображения.
Определение 3.
Пусть даны локально бикомпактное хаусдорфово
отображение
f
:
X
→
Y
, хаусдорфово отображение
g
:
Z
→
Y
, би-
компактное подотображение
e
g
:
R
→
Y
отображения
g
и морфизм
λ
:
f
→
g
отображения
f
в отображение
g
. Морфизм
λ
называется
приложением отображения
f
к подотображению
e
g
отображения g
,
если:
1)
R
∩
g
−
1
V
h
λ f
−
1
V
\
[
U
]
f
−
1
V
i
Z
для любого открытого
V
в
Y
и любого открытого
U
в
X
такого, что
U f
−
1
V
и отображение
f
: [
U
]
f
−
1
V
→
V
бикомпактно;
2) для любой точки
y
2
e
gR
и любой окрестности
W
в
Z
слоя
e
g
−
1
y
существуют окрестность
V
точки
y
и множество
U f
−
1
V
такие, что
отображение
f
: [
U
]
f
−
1
V
→
V
бикомпактно и
λ
(
f
−
1
V
\
U
)
W
;
3) отображение
f
R
=
f
: (
X
\
f
−
1
(
e
gR
))
→
Y
\
e
gR
бикомпактно.
Теорема 3
.
Если существует приложение
λ
локально бикомпакт-
ного хаусдорфова отображения
f
:
X
→
Y
к бикомпактному под-
отображению
e
g
:
R
→
Y
хаусдорфова отображения
g
:
Z
→
Y
,
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 1
5
