и для окрестности
O
∩
g
−
1
V
1
слоя
e
g
−
1
y
в
Z
существует множе-
ство
U
2
f
−
1
V
1
такое, что отображение
f
: [
U
2
]
f
−
1
V
1
→
V
1
би-
компактно и
λ
(
f
−
1
V
1
\
U
2
)
O
∩
g
−
1
V
1
. Так как отображение
f
: [
U
1
∪
U
2
]
f
−
1
V
1
→
V
1
бикомпактно, то для окрестности
W
слоя
f
−
1
y
∩
[
U
1
∪
U
2
]
f
−
1
V
1
существует окрестность
V
2
точки
y
такая, что
f
−
1
V
2
∩
[
U
1
∪
U
2
]
f
−
1
V
1
W
. Тогда для окрестности
V
=
V
1
∩
V
2
точки
y
имеем
(
cf
)
−
1
V W
.
Пусть теперь
y
2
Y
\
e
gR
и
W
— произвольная окрестность множе-
ства
cf
−
1
y
=
f
−
1
y
в
c
f
X
. Отображение
f
R
замкнуто, следовательно,
для окрестности
W
∩
(
X
\
f
−
1
e
gR
)
множества
f
−
1
R
y
=
f
−
1
y
существует
окрестность
V
точки
у
в
Y
\
e
gR
, а значит, и в пространстве
Y
такая, что
f
−
1
V W
∩
(
X
\
f
−
1
e
gR
)
W
. Замкнутость отображения
cf
доказана.
Докажем, что прообраз каждой точки
y
2
Y
при отображении
cf
бикомпактен. Если
y
2
Y
\
e
gR
, то множество
cf
−
1
y
бикомпактно в силу
бикомпактности отображения
f
R
. Пусть
y
2
e
gR
. Пусть
S
— произволь-
ное открытое покрытие множества
(
cf
)
−
1
y
=
f
−
1
y
∪
e
g
−
1
y
в простран-
стве
c
f
X
. Не ограничивая общности рассуждений, можно считать,
что оно состоит из базисных множеств. Выберем из него конечное
подпокрытие бикомпактного слоя
e
g
−
1
y
. По утверждению существует
открытое базисное множество
S
0
= (
cλ
)
−
1
(
O
∩
g
−
1
V
)
\
[
U
]
f
−
1
V
, где
множество
О
открыто в
Z
, множество
V
открыто в
Y
, множество
U
открыто в
Х
,
U f
−
1
V
, и отображение
f
: [
U
]
f
−
1
V
→
V
бикомпакт-
но, такое, что
e
g
−
1
y S
0
. Можно считать, что
S
0
2
S
. Для окрестности
(
O
∩
g
−
1
V
)
слоя
e
g
−
1
y
в
Z
по условию 2) определения 3 существуют
окрестность
V
0
точки
y
и множество
U
0
f
−
1
V
0
такие, что отобра-
жение
f
: [
U
0
]
f
−
1
V
0
→
V
0
бикомпактно и
λ
(
f
−
1
V
0
\
U
0
) (
O
∩
g
−
1
V
)
.
Выберем из
S
конечные подсистемы
S
1
и
S
2
, покрывающие биком-
пактные множества
f
−
1
y
∩
[
U
]
f
−
1
V
и
f
−
1
y
∩
[
U
0
]
f
−
1
V
0
соответственно.
Тогда система
S
0
∪
S
1
∪
S
2
является конечным подпокрытием покрытия
S
. Послойная бикомпактность отображения
cf
доказана.
Очевидно, ограничение отображения
cf
на множество
с
f
X
\
X
=
R
совпадает с отображением
e
g
.
Таким образом, отображение
cf
:
c
f
X
→
Y
является бикомпакти-
фикацией отображения
f
такой, что
cf
\
f
=
e
g
. Теорема доказана.
Теорема 4
.
Бикомпактное отображение
e
g
:
R
→
Y
является наро-
стом некоторой бикомпактификации локально бикомпактного хаус-
дорфова отображения
f
:
X
→
Y
тогда и только тогда
,
когда суще-
ствуют хаусдорфово отображение
g
:
Z
→
Y
,
имеющее
e
g
в качестве
подотображения
,
и приложение
λ
отображения
f
к подотображе-
нию
e
g
отображения
g
.
Доказательство.
Пусть
cf
:
c
f
X
→
Y
— бикомпактификация ото-
бражения
f
такая, что
cf
\
f
=
e
g
. В качестве
λ
возьмем тождественное
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 1
9
