точки
x
1
и открытое множество
V Y
такие, что
U f
−
1
V
и
отображение
f
: [
U
]
f
−
1
V
→
V
бикомпактно. Тогда множества
U
и
(
cλ
)
−
1
(
Z
∩
g
−
1
V
)
\
[
U
]
f
−
1
V
являются дизъюнктными окрестностями
точек
x
1
, x
2
в
c
f
X
.
Докажем, что отображение
cf
замкнуто во всех точках
y
2
Y
.
Пусть
y
2
e
gR Y
и
W
— произвольная окрестность множества
(
cf
)
−
1
y
=
f
−
1
y
∪
e
g
−
1
y
в пространстве
c
f
X
. Поскольку подотображе-
ние
e
g
=
cf
\
f
бикомпактно, то существует конечное покрытие слоя
e
g
−
1
y
в
c
f
X
базисными множествами
S
i
= (
cλ
)
−
1
O
i
∩
g
−
1
V
i
\
[
U
i
]
f
−
1
V
i
,
где множество
O
i
открыто в
Z
, множество
V
i
открыто в
Y
, множе-
ство
U
i
открыто в
Х
,
U
i
f
−
1
V
i
, и отображение
f
: [
U
i
]
f
−
1
V
i
→
V
i
бикомпактно,
i
= 1
, . . . , n
, такое, что
∪ {
S
i
:
i
= 1
, ..., n
}
W
.
Докажем следующее
Утверждение
.
Если существует конечное покрытие слоя
e
g
−
1
y
в
c
f
X
базисными множествами
S
i
= (
cλ
)
−
1
O
i
∩
g
−
1
V
i
\
[
U
i
]
f
−
1
V
i
,
где множество
O
i
открыто в
Z,
множество
V
i
открыто в
Y,
множе-
ство
U
i
открыто в
Х
, U
i
f
−
1
V
i
,
и отображение
f
: [
U
i
]
f
−
1
V
i
→
V
i
бикомпактно
, i
= 1
, . . . , n,
то существует открытое базисное мно-
жество
S
= (
cλ
)
−
1
O
∩
g
−
1
V
1
\
U
1
f
−
1
V
1
,
где множество
О
открыто в
Z,
множество
V
1
открыто в
Y,
множе-
ство
U
1
открыто в
Х
,
U
1
f
−
1
V
1
,
и отображение
f
: [
U
1
]
f
−
1
V
1
→
V
1
бикомпактно
,
такое
,
что
e
g
−
1
y S
∪ {
S
i
:
i
= 1
, . . . , n
}
.
Действительно, пусть
V
1
=
∩ {
V
i
:
i
= 1
, . . . , n
}
,
O
=
∪{
O
i
:
i
=
= 1
, . . . , n
}
,
U
1
= (
∪ {
U
i
:
i
= 1
, . . . , n
}
)
∩
f
−
1
V
1
. Поскольку
U
1
f
−
1
V
1
= (
∪ {
U
i
:
i
= 1
, . . . , n
}
)
∩
f
−
1
V
1
f
−
1
V
1
=
=
∪
n
U
i
∩
f
−
1
V
1
f
−
1
V
1
:
i
= 1
, . . . , n
o
и отображения
f
: [
U
i
]
f
−
1
V
i
→
V
i
,
i
= 1
, . . . , n
, бикомпактны, то
отображение
f
: [
U
1
]
f
−
1
V
1
→
V
1
бикомпактно. Потому открытое
множество
S
= (
cλ
)
−
1
(
O
∩
g
−
1
V
1
)
\
[
U
1
]
f
−
1
V
1
является базисным
и
e
g
−
1
y S
∪ {
S
i
:
i
= 1
, . . . , n
}
. Утверждение доказано.
Продолжим доказательство теоремы. Пусть
S
,
U
1
и
V
1
— та-
кие, как в утверждении. Покольку отображение
e
g
замкнуто и для
морфизма
λ
выполняется условие 2) определения 3, то, не огра-
ничивая общности рассуждений, можно считать, что
e
g
−
1
V
1
S
8
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 1
