u
R
,
u
ϕ
,
u
θ
— физические компоненты скорости в сферической системе
координат,
E
=
ρ e
+
V
2
2
— полная внутренняя энергия единицы объема,
e
=
1
γ
−
1
p
ρ
— вну-
тренняя энергия единицы массы газа, индексы при
ξ
обозначают диф-
ференцирование по соответствующей координате.
“Невязкая” часть системы уравнений решается при помощи явной
двухшаговой конечно-разностной схемы Мак-Кормака.
Введем в пространстве
t
,
ξ
,
ϕ
,
θ
сетку с шагами
Δ
t
,
Δ
ξ
,
Δ
ϕ
=
π/K
,
Δ
θ
, обозначим координаты узлов сетки
t
j
=
j
Δ
t
,
θ
m
=
m
Δ
θ
,
ϕ
k
=
k
Δ
ϕ
, а любую функцию
f
в точке обозначим как
f
j
n,m,k
, при этом
0
≤
n
≤
N
,
0
≤
m
≤
M
,
0
≤
k
≤
K
, где
N, M, K
— число интервалов
в направлениях
ξ
,
θ
,
ϕ
соответственно.
Наличие узких областей с большими градиентами параметров по-
тока, таких как пограничный слой вблизи тела, зона размазанной удар-
ной волны при низких числах Рейнольдса, не позволяет получать на-
дежные количественные результаты при использовании равномерных
сеток. Для адекватного учета поведения параметров в областях боль-
ших градиентов вводится сгущение сетки в радиальном направлении
вида
ξ
(
n
) =
1
N
,
если
n > N ,
1
N
+
1
AN
2
+
1
AN
−
1
N
2
sin
−
π
(2
n
−
N
)
2
N
,
если
n
≤
N ,
где
A
– произвольное целое число, задающее отношение наибольшего
шага к наименьшему,
N
— номер сеточного узла, с которого вводится
неравномерная сетка.
Предиктор разностной схемы имеет вид
~U
j
+1
n,m,k
=
~U
j
n,m,k
−
Δ
t
~F
j
n
+1
,m,k
−
~F
j
n,m,k
Δ
ξ
+
+
~E
j
n,m
+1
,k
−
~E
j
n,m,k
Δ
θ
+
~G
j
n,m,k
+1
−
~G
j
n,m,k
Δ
ϕ
+
~H
j
n,m,k
,
а корректор записывается следующим образом:
86
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 1
