500 лет истории закона сухого трения - page 6

Рис. 1. Схема тормозной ко-
лодки
и т.п. Для моделей, в которых присутству-
ют подобные абстракции, могут возникать
ситуации, определенные Ж. Адамаром по-
нятием “некорректность”. Задача называ-
ется корректно поставленной по Адамару,
если она имеет единственное решение и
при малом возмущении параметров и на-
чальных данных решение также изменяет-
ся мало [8]. Те парадоксы Пенлеве, кото-
рые не сводятся к ошибке анализа, как раз и являются некорректно
поставленными.
Парадокс, основанный на ошибке, проиллюстрируем на часто при-
водимом примере схемы тормозной колодки (рис. 1).
Статика системы колодка – диск описывается уравнениями
для колодки
( N − P )l − F трh = 0; (2)
для диска
M − FтрR = 0; (3)
закон Эйлера – Кулона
0 ≤ Fтр ≤ fN. (4)
Суть парадокса заключается в следующем: если предположить, что
диск вращается, то в (3) реализуется равенство Fтр = fN , подставляя
которое в (1), находим
N =
lP
l − fh
. (5)
При l − fh < 0 реакция N будет отрицательной, что не имеет фи-
зического смысла. Отсюда иногда делают вывод, что система (1)–(3)
противоречива.
Это рассуждение ошибочно, поскольку не имеющий физического
смысла результат (4) при l − fh < 0 свидетельствует лишь о том, что
предположение о вращении диска должно быть отброшено. Покажем,
что имеет место следующая теорема.
Теорема. Если
l − fh < 0, (6)
то Fтр < fN , т.е. диск неподвижен.
J Подставим силу Fтр из (2) в (1) и определим реакцию N :
N = P +
Mh
Rl
. (7)
26 ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 2