κ
11
=
w
(1)
1
,
1
;
κ
22
=
κ
12
= 0
.
(33)
После подстановки выражений (33) в определяющие соотношения (19)
получим, что только момент
M
11
и перерезывающее усилие
Q
1
нену-
левые:
M
11
=
D
11
κ
11
;
Q
1
= 2 ˉ
C
55
e
13
;
T
11
=
T
22
=
T
12
= 0;
M
22
=
M
12
= 0;
Q
2
= 0
.
(34)
Тогда система уравнений теории устойчивости (24) с учетом (32) со-
держит только два ненулевых уравнения:
M
11
,
1
−
Q
1
= 0;
Q
1
,
1
+
B
(0)
12
T
0
11
= 0
.
(35)
Система (35) совместно с уравнениями (33), (34) представляет собой
замкнутую систему уравнений относительно двух неизвестных функ-
ций
w
(0)
3
и
w
(1)
1
. Подставим выражения для
B
(0)
12
(31) и
e
13
(32) во второе
уравнение системы (35)
ˉ
C
55
(
w
(0)
3
,
11
−
w
(1)
1
,
1
) +
1
2
(
w
(0)
3
,
11
−
w
(1)
1
,
1
)
T
(0)
11
= 0
,
отсюда
w
(1)
1
,
1
=
−
2 ˉ
C
55
+
T
0
11
2 ˉ
C
55
−
T
0
11
w
(0)
3
,
11
.
В силу (42) и (43) имеем
M
11
=
−
D
11
2 ˉ
C
55
+
T
0
11
2 ˉ
C
55
−
T
0
11
w
(0)
3
,
11
;
(36)
B
(0)
12
=
1
2
(
w
(0)
3
,
11
−
w
(1)
1
,
1
) =
2 ˉ
C
55
2 ˉ
C
55
−
T
0
11
w
(0)
3
,
11
.
(37)
Исключив силу
Q
1
из двух уравнений системы (35), получим
M
11
,
11
+
B
(0)
12
T
0
11
= 0
.
(38)
Если в уравнение (38) подставить выражения (36) и (37), то можно
записать итоговый вид уравнения теории устойчивости балки:
w
(0)
3
,
1111
+
k
2
w
(0)
3
,
11
= 0
,
(39)
где
k
2
=
−
2 ˉ
C
55
T
0
11
D
11
(2 ˉ
C
55
+
T
0
11
)
=
T
0
D
11
(1
−
T
0
/
2 ˉ
C
55
)
.
Уравнение (39) представляет собой классическое уравнение устой-
чивости стержня, которое обычно выводится из совсем иных исходных
уравнений — из уравнений теории устойчивости пластин с эмпириче-
ски вводимой внешней силой для основного состояния [1, 2, 4, 6].
86
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 2
