F
eα
=
= (
−
1)
α
(
B
(0)
1
β
Q
0
1
+
B
(0)
2
β
Q
0
2
−
B
(0)
13
T
0
1
β
−
B
(0)
23
T
0
2
β
−
B
(1)
13
M
0
1
β
−
B
(1)
23
M
0
2
β
) =
= (
−
1)
α
2
X
s
=1
(
B
(0)
sβ
Q
0
s
−
B
(0)
s
3
T
0
sβ
−
B
(1)
s
3
M
0
sβ
)
, α, β
= 1
,
2
, α
6
=
β
;
F
e
3
=
−
2
X
s
=1
(
B
(0)
s
1
T
0
s
2
−
B
(0)
s
2
T
0
s
1
−
(
B
(1)
s
1
M
0
s
2
−
B
(1)
s
2
M
0
s
1
));
(26)
M
eα
= (
−
1)
α
2
X
s
=1
h
3
12
(
B
(1)
sβ
Q
0
s
−
B
(1)
s
3
T
0
sβ
)
−
B
(0)
s
3
M
0
sβ
.
Система уравнений (24) после подстановки в нее формул (26), а
также определяющих соотношений (19) и кинематических соотноше-
ний (8), (9), (12) представляет собой замкнутую систему пяти урав-
нений второго порядка относительно пяти неизвестных функций
w
(0)
1
,
w
(0)
2
,
w
(0)
3
и
w
(1)
1
,
w
(1)
2
. Это и есть искомая система уравнений устой-
чивости для оболочки типа Тимошенко, полученная из трехмерных
уравнений теории устойчивости.
Граничные условия для уравнений равновесия оболочки (24) в
основном состоянии задаются на контуре
L
, ограничивающем средин-
ную поверхность оболочки. Если часть этого контура
L
совпадает с
координатной линией
X
α
, то граничные условия задаются по одному
из каждой пары
(
T
0
αα
=
T
e
αα
, U
α
=
U
e
α
); (
T
0
12
=
T
e
12
, U
β
=
U
e
β
); (
Q
α
=
Q
e
α
, W
=
W
e
);
(27)
(
M
0
αα
=
M
e
αα
, γ
α
=
γ
e
α
); (
M
0
12
=
M
e
12
, γ
β
=
γ
e
β
)
.
Для уравнений устойчивости оболочки (24) граничные условия
имеют соответствующий тип, но с нулевыми заданными функциями
(27) на контуре
L
, ограничивающем оболочку.
Уравнения (24), (26) отличаются от классических уравнений тео-
рии устойчивости оболочек [6] выражением для фиктивных массовых
сил
F
eα
, моментов
M
eα
и перерезывающих сил
F
e
3
, в частности в
классических уравнениях теории
M
eα
= 0
. Покажем, что выведенные
уравнения (24), (26) теории устойчивости оболочек для простейшей
задачи совпадают с классическими уравнениями устойчивости.
Расчет устойчивости стержня по предложенной теории.
Рассмо-
трим классическую задачу об устойчивости стержня при действии на
него сжимающей продольной нагрузки
T
e
11
≡ −
T
0
<
0
. Ось
OX
1
ори-
ентирована в направлении продольной оси стержня. Поскольку сре-
динная поверхность стержня представляет собой плоскость, для нее
84
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 2
