Таким образом, показано, что трехмерная теория устойчивости упру-
гих тел для случая тонкого стержня позволяет получить классическое
уравнение теории устойчивости с учетом деформаций поперечного
сдвига [6]. Уравнение (39) с граничными условиями шарнирного за-
крепления
X
1
= 0 :
U
0
1
= 0
, w
(0)
3
= 0
, M
11
= 0;
X
1
=
l
:
w
(0)
3
= 0
, M
11
= 0
имеет минимальное собственное значение
k
=
π/l
, ему соответствует
критическое значение сжимающей нагрузки
T
0
, при котором происхо-
дит потеря устойчивости стержня
T
0
кр
=
π
2
D
11
l
2
1 +
π
2
D
11
2 ˉ
C
55
l
2
.
(40)
Выражение (40) совпадает с выражением для критической нагруз-
ки, полученным в работе [6]. При очень длинных стержнях, для ко-
торых выполняется условие
π
2
24
C
11
C
55
h
l
2
1
, из выражения (40)
выведем классическую формулу Эйлера для критической нагрузки:
T
0
кр
=
T
0
э
=
π
2
D
11
l
2
=
π
2
hC
11
12
h
l
2
.
Выводы.
Уравнения теории устойчивости тонких оболочек типа
Тимошенко были получены на основе трехмерных уравнений тео-
рии устойчивости упругих тел при малых деформациях. Отличие этих
уравнений от известных эмпирически или полуэмпирически выводи-
мых уравнений теории устойчивости заключается в разных выраже-
ниях для коэффициентов при усилиях основного (устойчивого) состо-
яния, а также в наличии моментов фиктивных сил основного состо-
яния, которые обычно полагают нулевыми. Для классической задачи
об устойчивости стержня уравнения теории устойчивости сводятся к
классическому уравнению на собственные значения. Однако для более
сложных оболочечных конструкций возможны отличия в уравнениях
теории устойчивости и выражении для критических нагрузок. Этот
вопрос требует дальнейшего изучения.
ЛИТЕРАТУРА
1.
Тимошенко С.П.
Устойчивость стержней, пластин и оболочек. Избранные рабо-
ты. М.: Наука, 1971. 808 с.
2.
Вольмир А.С.
Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967. 964 с.
3.
Пановко Я.Г.
,
Губанова И.И.
Устойчивость и колебания упругих систем. М.:
Наука, 1967. 420 с.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 2
87
