позволяет уравнения
(1)
заменить одним обобщенным уравнением те
-
плопроводности в области
0
≤
r
<
R
:
C
(
u
,
r
)
∂
u
∂
t
=
∂
∂
r
µ
Λ
(
u
)
∂
u
∂
r
¶
+
P
(
r
)
,
а решение этого уравнения следует понимать как обобщенное реше
-
ние
,
для которого в силу непрерывности
Λ
(
u
,
r
)
∂
u
∂
r
выполняются усло
-
вия
(4).
Поэтому задачу
(1)–(4)
можно записать в следующем виде
:
C
(
u
,
r
)
∂
u
∂
t
=
∂
∂
r
µ
Λ
(
u
)
∂
u
∂
r
¶
+
P
(
r
)
,
t
>
0
,
0
≤
r
<
R
; (5)
u
(
r
,
0
) =
T
0
,
0
≤
r
≤
R
;
(6)
−
Λ
(
u
,
r
)
∂
u
∂
r
=
R
α
(
u
−
T
0
)
,
r
=
R
,
t
≥
0
.
(7)
Построение разностно
-
дифференциального аналога начально
-
краевой задачи
(5)–(7).
Применим к приближенному решению зада
-
чи
(5)–(7)
метод прямых
[1].
Для этого проведем дискретизацию вре
-
менн
´
ой переменной
t
:
t
k
=
kh
,
k
=
1
,
2
, . . . ,
с достаточно малымшагом
разбиения
h
>
0.
Точность приближения определяется выбором шага
.
В
работе
[2]
показано
,
что при
h
→
0
для широкого класса нелинейных па
-
раметров имеет место сходимость приближенного решения к точному
.
Заменим в уравнении
(5)
производную
∂
u
∂
t
конечно
-
разностным от
-
ношением
∂
u
∂
t
(
r
,
t
k
)
≈
u
(
r
,
t
k
)
−
u
(
r
,
t
k
−
1
)
h
.
Кроме того
,
на каждом временн
´
ом слое
t
=
t
k
проведем линеариза
-
цию задачи
,
вычисляя все нелинейные параметры для предыдущего
временн
´
ого слоя
t
=
t
k
−
1
.
Обозначая
u
k
(
r
) =
u
(
r
,
t
k
)
,
определим функции
Λ
k
(
r
) =
=
Λ
(
u
k
−
1
(
r
)
,
r
)
,
C
k
(
r
) =
C
(
u
k
−
1
(
r
)
,
r
)
,
φ
k
(
r
) =
R
α
(
T
0
−
u
k
−
1
(
r
))
,
u
0
(
r
) =
T
0
.
В этом случае начально
-
краевая нелинейная задача
(5)–(7)
приво
-
дится к виду
L
(
u
k
(
r
))
≡ −
d
dr
µ
Λ
k
(
r
)
du
k
dr
¶
+
h
−
1
C
k
(
r
)
u
k
=
h
−
1
C
k
(
r
)
u
k
−
1
+
P
(
r
)
,
(8)
|
u
k
(
0
)
|
<
∞
,
Λ
k
(
r
)
du
k
dr
=
φ
k
(
r
)
,
r
=
R
,
(9)
который является разностно
-
дифференциальным аналогом нелиней
-
ной начально
-
краевой задачи
(5)–(7).
22 ISSN 0236-3933.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. "
Естественные науки
". 2003.
№
2
