Применение бесконечных систем к решению краевой задачи
(8), (9)
.
Будем на каждом шаге итерации искать решение
u
k
(
r
)
краевой
задачи
(8), (9)
в виде ряда Фурье
u
k
(
r
) =
∞
∑
n
=
0
δ
n
b
(
k
)
n
Y
n
(
r
)
,
δ
n
=
1
2
при
n
=
0
,
1
при
n
=
1
,
2
, . . . ,
(10)
по ортогональной на отрезке
[
0
,
R
]
системе собственных функций
Y
n
(
x
) =
cos
ω
n
r
,
ω
n
=
n
π
R
,
следующей задачи Штурма
–
Лиувилля
:
Y
00
(
r
)+
ω
2
Y
(
r
) =
0
,
Y
0
(
0
) =
0
,
Y
0
(
R
) =
0
.
Применим методику
,
изложенную в работах
[3, 4],
для нахождения
коэффициентов
b
(
k
)
n
в разложении
(10).
Умножая уравнение
(8)
на
Y
n
(
r
)
и интегрируя по
r
в пределах от
0
до
R
,
получаем соотношение
2
R
Z
R
0
d
dr
µ
Λ
k
(
r
)
du
k
dr
¶
Y
n
(
r
)
dr
−
h
−
1
2
R
Z
R
0
C
k
(
r
)
u
k
(
r
)
Y
n
(
r
)
dr
=
=
−
h
−
1
2
R
Z
R
0
C
k
(
r
)
u
k
−
1
(
r
)
Y
n
(
r
)
dr
−
β
n
,
(11)
где
β
n
—
коэффициенты Фурье функции
P
(
r
)
:
β
n
=
2
R
Z
R
0
P
(
r
)
Y
n
(
r
)
dr
.
Интегрируя первое слагаемое в соотношении
(11)
по частям и учи
-
тывая граничное условие
(9),
а также учитывая
,
что
Λ
k
(
0
) =
0,
получаем
2
R
(
−
1
)
n
φ
k
(
R
)
−
2
R
Z
R
0
Λ
k
(
r
)
du
k
dr
dY
n
dr
dr
−
h
−
1
2
R
Z
R
0
C
k
(
r
)
u
k
(
r
)
Y
n
(
r
)
dr
=
=
−
h
−
1
2
R
Z
R
0
C
k
(
r
)
u
k
−
1
(
r
)
Y
n
(
r
)
dr
−
β
n
.
(12)
Подставим в полученное соотношение разложение
(10)
для функции
u
k
(
r
)
и
,
меняя порядок интегрирования и суммирования
,
получим
I
1
=
2
R
Z
R
0
Λ
k
(
r
)
du
k
dr
dY
n
dr
dr
=
∞
∑
m
=
0
δ
m
b
(
k
)
m
µ
2
R
Z
R
0
Λ
k
(
r
)
dY
m
dr
dY
n
dr
¶
dr
,
ISSN 0236-3933.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. "
Естественные науки
". 2003.
№
2 23
