УДК
517.958
Ю
.
И
.
М а л о в
,
Т
.
А
.
Н у ж н е н к о
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
ПРОЦЕССА НЕСТАЦИОНАРНОЙ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ
ТЕПЛОВЫДЕЛЯЮЩЕМ ЭЛЕМЕНТЕ
Предложена математическая модель эволюции температурного
поля в составном тепловыделяющем элементе
,
имеющем форму
круглого цилиндра
.
Получено в аналитической форме приближен
-
ное решение задачи в нелинейной постановке
,
когда теплофизиче
-
ские свойства материалов тепловыделяющего элемента зависят
от температуры
.
Постановка задачи
.
Рассматривается нестационарный процесс те
-
плопроводности в тепловыделяющем элементе
,
имеющем форму бес
-
конечного круглого цилиндра радиуса
R
.
Тепловыделяющий элемент
составлен из двух однородных слоев
0
≤
r
<
r
1
и
r
2
<
r
<
R
,
разделен
-
ных тонкой прослойкой
r
1
<
r
<
r
2
.
Во внутренней части выделяется
теплота с постоянной объемной тепловой мощностью
P
.
На внешней
поверхности цилиндра
r
=
R
происходит конвективный теплообмен с
окружающей средой по закону Ньютона с коэффициентом теплоотдачи
α
.
Удельные теплоемкости и коэффициенты теплопроводности слоев
зависят от температуры
u
и равны соответственно
c
1
(
u
)
,
c
2
(
u
)
,
c
3
(
u
)
и
λ
1
(
u
)
,
λ
2
(
u
)
,
λ
3
(
u
)
.
Объемные плотности этих слоев постоянны и равны
соответственно
ρ
1
,
ρ
2
,
ρ
3
.
Температура окружающей среды и начальная
температура составного цилиндра равны
T
0
=
const.
В данной поста
-
новке задачи предположим
,
что поверхности соприкосновения слоев
r
=
r
1
и
r
=
r
2
являются идеальными тепловыми контактами
.
Математическая модель процесса
.
Процесс распространения не
-
стационарной температуры в среде
,
теплофизические параметры кото
-
рой зависят от температуры
,
при наличии внутренних источников вы
-
деления тепла описывается уравнением
ρ
(
u
)
c
(
u
)
∂
u
∂
t
=
div
(
λ
(
u
)
grad
u
) +
P
.
Учитывая
,
что в цилиндрической системе координат с осевой симме
-
трией для функции
u
(
r
,
t
)
справедливо равенство
div
(
λ
(
u
)
grad
u
) =
1
r
∂
∂
r
µ
r
λ
(
u
)
∂
u
∂
r
¶
,
20 ISSN 0236-3933.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. "
Естественные науки
". 2003.
№
2
