Постановка задачи.
Найти функцию
ψ
(
y
)
2
C
1
[
y
0
, y
]
, удовлетво-
ряющую условиям
y
Z
y
0
dy
ψ
(
y
)
=
t
;
(1)
0
< ψ
−
(
y
)
< ψ
(
y
)
< ψ
+
(
y
)
, y
2
[
y
0
, y
];
(2)
ψ
(
y
0
) =
ψ
0
, ψ
(
y
) =
ψ ,
(3)
где функции
ψ
±
(
y
)
2
C
1
[
y
0
, y
]
.
Несложно заметить, что для существования решения задачи (1)–(3)
ее исходные данные должны удовлетворять условиям
ψ
−
(
y
0
)
< ψ
0
< ψ
+
(
y
0
);
ψ
−
(
y
)
< ψ < ψ
+
(
y
);
t
inf
< t < t
sup
,
(4)
где
t
inf
=
y
Z
y
0
dy
ψ
+
(
y
)
;
t
sup
=
y
Z
y
0
dy
ψ
−
(
y
)
.
Предварительные результаты.
Пусть ограничение (2) на искомое
решение является выпуклым, т.е. на отрезке
[
y
0
, y
]
функция
ψ
+
(
y
)
вы-
пукла вверх, а функция
ψ
−
(
y
)
выпукла вниз, следовательно, множе-
ство
Y
=
{
(
y, z
)
2
R
2
:
y
2
[
y
0
, y
]
, ψ
−
(
y
)
< z < ψ
+
(
y
)
}
,
соответствующее ограничению (2), выпуклое.
Рассмотрим на плоскости
yOz
прямую
z
=
ψ
0
(
y
)
, проходящую
через точки
(
y
0
, ψ
0
)
и
(
y , ψ
)
множества
Y
,
ψ
0
(
y
) =
ψ
−
ψ
0
y
−
y
0
(
y
−
y
0
) +
ψ
0
.
(5)
Ее отрезок, ограниченный этими точками, содержится в множестве
Y
.
Обозначим через
d
(
y
)
функцию из
C
1
[
y
0
, y
]
, равную нулю на кон-
цах отрезка
[
y
0
, y
]
. При любом
c
2
R
график функции
z
=
ψ
c
(
y
)
,
ψ
c
(
y
) =
ψ
0
(
y
) +
cd
(
y
)
, y
2
[
y
0
, y
]
,
(6)
соединяет указанные точки и существуют такие
c
−
<
0
< c
+
, что при
любом
c
2
[
c
−
, c
+
]
этот график содержится в множестве
Y
. Следова-
тельно, для таких функций
ψ
c
(
y
)
выполнено условие (2).
Примем
t
(
c
) =
y
Z
y
0
dy
ψ
c
(
y
)
.
4
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 3
