Основной результат.
Решения задачи (1)–(3) вида (7) и (8) суще-
ствуют, если для выбранных функций
ψ
0
(
y
)
и
d
(
y
)
значение
t
окажет-
ся на отрезке, ограниченном точками
t
(
c
+
)
и
t
(
c
−
)
и содержащемся в
интервале
(
t
inf
, t
sup
)
. Для любых значений
t
из интервала
(
t
inf
, t
sup
)
параметрические семейства решений задачи (1)–(3) можно построить
методом, основанным на конструктивном доказательстве следующего
утверждения.
Теорема 1.
Для существования решения задачи (1)–(3) необходимо
и достаточно выполнения условий (4).
Идея доказательства достаточности выполнения условий (4) для
существования решения задачи (1)–(3) заключается в том, что сначала
при заданном значении
t
для функций
ψ
+
(
y
)
и
ψ
−
(
y
)
строятся их
аппроксимации — функции
ψ
+
ε
(
y
)
и
ψ
−
ˆ
ε
(
y
)
из
C
1
[
y
0
, y
]
, зависящие от
параметров
ε
,
ˆ
ε
и удовлетворяющие условиям
ψ
+
ε
(
y
0
) =
ψ
−
ˆ
ε
(
y
0
) =
ψ
0
, ψ
+
ε
(
y
) =
ψ
−
ˆ
ε
(
y
) =
ψ
;
0
< ψ
−
(
y
)
< ψ
−
ˆ
ε
(
y
)
< ψ
+
ε
(
y
)
< ψ
+
(
y
)
, y
2
[
y
0
, y
];
y
Z
y
0
dy
ψ
+
ε
(
y
)
< t <
y
Z
y
0
dy
ψ
−
ˆ
ε
(
y
)
.
Затем, используя последнее двойное неравенство, аналогично нахо-
ждению функции (8), строится решение задачи (1)–(3). Предложена
следующая реализация этой идеи.
Для функций, входящих в постановку задачи (1)–(3), определим
m
−
= min
y
2
[
y
0
, y
N
]
ψ
−
(
y
)
m
+
= min
y
2
[
y
0
, y
N
]
ψ
+
(
y
);
M
−
= max
y
2
[
y
0
, y
N
]
ψ
−
(
y
)
, M
+
= max
y
2
[
y
0
, y
N
]
ψ
+
(
y
);
m
+
−
= min
y
2
[
y
0
, y
N
]
(
ψ
+
(
y
)
−
ψ
−
(
y
))
.
Обозначим через
ε
−
,
ε
0
,
ε
+
,
ε
положительные числа, удовлетворяю-
щие неравенствам
ε
+
<
min(
m
+
−
/
3
, ψ
+
(
y
0
)
−
ψ
0
, ψ
+
(
y
)
−
ψ
);
ε
−
<
min(
m
+
−
/
3
, ψ
0
−
ψ
−
(
y
0
)
, ψ
−
ψ
−
(
y
));
ε
0
<
(
y
−
y
0
)
/
3
, ε <
(
y
−
y
0
)
/
3
.
(9)
Рассмотрим гладкие функции
ξ
(
τ
) =
ξ
(
τ, ξ
0
) = 1
−
(1
−
ξ
0
)(1
−
τ
)
2
, τ
2
[0
,
1]
,
и
η
(
τ
) =
η
(
τ, η
) =
ξ
(1
−
τ, η
0
) = 1
−
(1
−
η
)
τ
2
, τ
2
[0
,
1]
,
6
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 3
