Эта функция принадлежит
C
1
[
y
0
, y
]
, а ее график соединяет точки
(
y
0
, ψ
0
)
,
(
y , ψ
)
и содержится в множестве
Y
. Кроме того, для
t
−
(ˆ
ε
) =
Z
y
y
0
dy
ψ
−
ˆ
ε
(
y
)
справедливо утверждение, аналогичное лемме 1.
Лемма 2.
Для любого
ε>
0
существует такое
ˆ
ε
, что
t
−
(ˆ
ε
)
>t
sup
−
ε
.
J
Как и при доказательстве леммы 1, представим разность
t
sup
−
t
−
(ˆ
ε
)
в виде трех интегралов и примем, что каждый интеграл
был меньше
ε/
3
. В результате преобразований получим неравенства
ε
−
<
εm
2
−
3(
y
−
y
0
)
;
ε
0
<
εm
−
M
+
3(
M
+
−
m
−
)
;
ε <
εm
−
M
+
3(
M
+
−
m
−
)
.
(11)
Следовательно, если параметры
(
ε
−
, ε
0
, ε
) = ˆ
ε
выбраны с учетом
выполнения неравенств (9), (11), то функция
ψ
−
ˆ
ε
(
y
)
удовлетворяет
условию
t
−
(ˆ
ε
)
> t
sup
−
ε
.
I
Воспользуемся построенными аппроксимациями
ψ
+
ε
(
y
)
,
ψ
−
ˆ
ε
(
y
)
для нахождения решения задачи (1)–(3).
Примем
ε
=
t
−
t
inf
, фиксируем любое значение
ε
= (
ε
+
, ε
0
, ε
)
,
удовлетворяющее неравенствам (9), (10), в результате получим значе-
ния всех параметров, от которых зависит функция
ψ
+
ε
(
y
)
. Аналогично,
задав
ε
=
t
sup
−
t
и выбрав любое значение
ˆ
ε
= (
ε
−
, ε
0
, ε
)
, удовлетво-
ряющее неравенствам (9) и (11), находим значения всех параметров,
от которых зависит функция
ψ
−
ˆ
ε
(
y
)
.
Для определения функции
ψ
(
y
)
, т.е. решения задачи (1)–(3), рас-
смотрим функцию
α
(
c
) =
Z
y
y
0
c
ψ
+
ε
(
y
)
+
1
−
c
ψ
−
ˆ
ε
(
y
)
dy
=
ct
+
(
ε
) + (1
−
c
)
t
−
(ˆ
ε
)
.
При
c
=
c
=
t
−
t
−
(ˆ
ε
)
t
+
(
ε
)
−
t
−
(ˆ
ε
)
2
(0
,
1)
выполнено равенство
α
(
c
) =
t
и функция
ψ
(
y
) =
ψ
+
ε
(
y
)
ψ
−
ˆ
ε
(
y
)
c ψ
−
ˆ
ε
(
y
) + (1
−
c
)
ψ
+
ε
(
y
)
является решением задачи (1)–(3).
Заключение.
Рассмотрено интегральное уравнение, возникающее
в теории управления. Предложены методы нахождения в аналитиче-
ском виде параметрических семейств его решений.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты 14-
01-00424 и 12-07-00329) и Программы Президента РФ по государ-
ственной поддержке ведущих научных школ (грант НШ-53.2014.1).
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 3
9
