где
ˆ
F
m
(
x
)
,
ˆ
G
n
(
x
)
—
эмпирические функции распределения выборок
¯
x
,
¯
y
;
ˆ
H
m
+
n
(
x
) =
1
m
+
n
³
m
ˆ
F
m
(
x
) +
n
ˆ
G
n
(
x
)
´
—
объединенная эмпирическая функция распределения
;
q
—
фиксиро
-
ванное число
,
0
< q <
1
.
Реньи доказал
,
что предельное распределение
R
q
при условии
k
= 1
не зависит от параметра
q
и имеет вид
L
(
x
) =
4
π
∞
X
i
=0
(
−
1)
i
2
i
+ 1
exp
µ
−
(2
i
+ 1)
2
π
2
8
x
2
¶
.
(3)
Далее после введения необходимых обозначений определим ста
-
тистику
R
qk
и докажем
,
что ее предельное распределение не зависит
от параметров
q
и
k
.
Затем рассмотрим метод вычисления ее точных
распределений для произвольных
q
,
k
.
В заключение приведем та
-
блицы точных значений вероятностей
P
(
T
qk
< h
)
для ряда значений
m, n, q, k, h
и изучим вопрос допустимости использования предельного
распределения при небольших объемах выборок
¯
x
,
¯
y
.
Без ограничения общности будем считать
,
что
F
(
x
)=
x
,
G
(
x
)=
x
k
0
,
k
0
= 1
/k
,
0
6
x
6
1
.
Аналогом функции
ˆ
H
m
+
n
(
x
)
является функция
h
mn
=
1
m
+
n
³
m
ˆ
F
m
(
x
) +
n
( ˆ
G
n
(
x
))
k
´
.
Далее для упрощения записи будем часто опускать индексы
m, n
функции
h
mn
(
x
)
,
обозначая ее через
h
(
x
)
.
Для дальнейшего изложения потребуется следующее утверждение
.
Лемма
.
Пусть выполнена гипотеза
(1)
.
Тогда при
m, n
→ ∞
спра
-
ведливо равенство
P
(sup
x
|
h
mn
(
x
)
−
x
| →
0) = 1
.
Доказательство очевидно в силу теоремы Гливенко и непрерывно
-
сти на отрезке
[0, 1]
функции
y
=
x
k
.
В работе
[1]
доказана теорема
,
которая используется при выводе
основного результата
.
Теорема
1
.
При
m, n
→ ∞
,
m/n
→
ρ >
0
распределение случайного
процесса
Z
mn
(
x
) =
√
m
( ˆ
F
m
(
x
)
−
( ˆ
G
n
(
x
))
k
)
,
0
6
x
6
1
,
слабо сходится к распределению непрерывного гауссовского процесса
Z
(
x
)
с характеристиками
EZ
(
x
) = 0
, EZ
(
s
)
Z
(
t
) =
s
(1
−
t
+
µt
1
−
k
0
(1
−
t
k
0
))
, µ
=
k
2
ρ, s
6
t.
(4)
4
ISSN 1812-3368.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Естественные науки
”. 2004.
№
4
