Рассмотрим статистику
T
qk
=
s
(1
−
q
)
m
q
max
ϕ
(
h
)
<q
|
ˆ
F
m
(
x
)
−
( ˆ
G
n
(
x
))
k
|
1
−
h
(
x
) +
µ
((
h
(
x
))
1
−
k
0
−
h
(
x
))
,
(5)
где
ϕ
(
h
) =
h
1 +
µ
(
h
1
−
k
0
−
h
)
,
0
< q <
1
.
Для предельного распределения статистики
(5)
справедлива следу
-
ющая теорема
.
Теорема
2
.
При
m, n
→ ∞
,
m/n
→
ρ >
0
предельное распреде
-
ление статистики
T
qk
не зависит от параметров
q, k
и совпадает с
распределением Реньи
(3).
Доказательство
.
Заметим прежде всего
,
что из условия
ϕ
(
h
)
< q
следует
,
что знаменатель дроби в статистике
(5)
ограничен снизу
:
1
−
h
(
x
) +
µ
((
h
(
x
))
1
−
k
0
−
h
(
x
)) =
= (1
−
ϕ
(
h
(
x
)))(1 +
µ
((
h
(
x
))
1
−
k
0
−
h
(
x
)))
>
1
−
q >
0
.
В этом случае
,
как показано в работах
[4, 5],
в силу леммы при выводе
асимптотического распределения можно заменить
h
mn
(
x
)
на предель
-
ную функцию
x
,
0
6
x
6
1
.
С учетом теоремы
1
получим
,
что асимп
-
тотическое распределение статистики
(5)
совпадает с распределением
функционала вида
Φ(
Z
(
x
)) =
r
1
−
q
q
sup
ϕ
(
x
)
<q
|
Z
(
x
)
|
1
−
x
+
µ
(
x
1
−
k
0
−
x
)
.
Рассмотрим строго возрастающее преобразование
y
=
ϕ
(
x
) =
x
1 +
µ
(
x
1
−
k
0
−
x
)
,
[0
,
1]
→
[0
,
1]
.
Пусть
x
(
y
)
—
обратное преобразование
.
Тогда процесс
W
(
y
) =
Z
(
x
(
y
))
1 +
µ
(
x
(
y
))
1
−
k
0
−
x
(
y
)
является броуновским мостом
,
что следует из равенств
EW
(
y
) = 0
, EW
(
u
)
W
(
v
) =
x
(
u
)
1 +
µ
((
x
(
u
))
1
−
k
0
−
x
(
u
))
×
×
µ
1
−
x
(
v
) +
µ
((
x
(
v
))
1
−
k
0
−
x
(
v
))
1 +
µ
((
x
(
v
))
1
−
k
0
−
x
(
v
))
¶
=
u
(1
−
v
)
,
0
6
u
6
v
6
1
.
ISSN 1812-3368.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Естественные науки
”. 2004.
№
4
5
