−
Λ
1
(
T
1
, r
)
∂T
1
∂r
r
=
r
1
=
r
1
R
T
(
T
1
(
r
1
, t
)
−
T
2
(
r
1
, t
)) =
=
−
Λ
2
(
T
2
, r
)
∂T
2
∂r
r
=
r
1
, t >
0
.
(8)
Построение алгоритма приближенного решения.
Для нахожде-
ния приближенного аналитического решения начально-краевой зада-
чи (5)–(8), воспользуемся модификацией метода [13], предложенного
в работе [14]. Для этого согласно методу Роте проведем дискретиза-
цию временной переменной
t
системой точек
t
k
=
kτ
,
k
= 1
,
2
, . . .
(
τ >
0
— достаточно малый шаг разбиения) и заменим в уравнениях
(5) производные по времени разностными отношениями:
∂T
j
∂t
t
=
t
k
≈
T
(
k
)
j
(
r
)
−
T
(
k
−
1)
j
(
r
)
τ
, j
= 1
,
2
,
где
T
(
k
)
j
(
r
)
— приближенные значения функций
T
j
(
r, t
)
при
t
=
t
k
;
T
(0)
j
(
r
) =
T
0
в силу начальных условий (6).
Проведем линеаризацию задачи (5)—(8). На каждом временном
слое
t
=
t
k
все нелинейности в уравнениях (5), граничных условиях
(7) и в условии сопряжения (8) будем полагать известными, вычислен-
ными на предыдущем временном слое
t
=
t
k
−
1
:
F
(
k
)
(
r
) =
F T
(
k
−
1)
1
(
r
)
, r
;
C
(
k
)
j
(
r
) =
C
j
T
(
k
−
1)
j
(
r
)
, r ,
Λ
(
k
)
j
(
r
) = Λ
j
T
(
k
−
1)
j
(
r
)
, r , j
= 1
,
2
.
Кроме того, на временн´ом слое
t
=
t
k
значения тепловых потоков в
(7) и (8) определим через значения функций
T
(
k
−
1)
j
(
r
)
, найденных на
предыдущем временном слое
t
=
t
k
−
1
:
q
(
k
)
2
=
αr
2
T
(
k
−
1)
2
(
r
2
)
−
T
0
;
q
(
k
)
1
=
r
1
R
T
T
(
k
−
1)
1
(
r
1
)
−
T
(
k
−
1)
2
(
r
1
)
.
Это позволяет записать условие сопряжения (8) в виде двух гра-
ничных условий
−
Λ
(
k
)
1
(
r
)
∂T
(
k
)
1
∂r
r
=
r
1
=
q
(
k
)
1
;
−
Λ
(
k
)
2
(
r
)
∂T
(
k
)
2
∂r
r
=
r
1
=
q
(
k
)
1
.
Таким образом, дифференциально-разностный аналог начально-крае-
вой задачи (5)–(8) можно представить следующей итерационной
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 4
67
