схемой
(
k
= 1
,
2
, . . .
)
решения двух краевых задач для линейных
эллиптических уравнений с переменными коэффициентами
Λ
(
k
)
j
(
r
)
и
C
(
k
)
j
(
r
)
.
Краевая задача 1:
−
d
dr
"
Λ
(
k
)
1
(
r
)
dT
(
k
)
1
dr
#
+
1
τ
C
(
k
)
1
(
r
)
T
(
k
)
1
(
r
) =
=
1
τ
C
(
k
)
1
(
r
)
T
(
k
−
1)
1
(
r
) +
F
(
k
)
(
r
)
,
0
< r < r
1
;
(9)
T
(
k
)
1
r
=0
<
∞
;
−
Λ
(
k
)
1
(
r
)
dT
(
k
)
1
dr
r
=
r
1
=
q
(
k
)
1
.
(10)
Краевая задача 2:
−
d
dr
"
Λ
(
k
)
2
(
r
)
dT
(
k
)
2
dr
#
+
1
τ
C
(
k
)
2
(
r
)
T
(
k
)
2
(
r
) =
=
1
τ
C
(
k
)
2
(
r
)
T
(
k
−
1)
2
(
r
)
, r
1
< r < r
2
;
(11)
−
Λ
(
k
)
2
(
r
)
dT
(
k
)
2
dr
r
=
r
1
=
q
(
k
)
1
;
−
Λ
(
k
)
2
(
r
)
dT
(
k
)
2
dr
r
=
r
2
=
q
(
k
)
2
.
(12)
На каждом временн´ом слое
t
=
t
k
задачи (9), (10) и (11), (12)
решаются независимо.
Сходимость метода Роте для краевых задач в нелинейной поста-
новке доказана в работе [15] для класса степенных функций.
На
k
-м шаге итерации решения краевых задач (9), (10) и (11), (12)
будем искать в виде разложений в ряды Фурье:
T
(
k
)
j
(
r
) =
∞
X
n
=0
δ
n
a
(
k
)
j,n
X
j,n
(
r
)
, r
j
−
1
≤
r
≤
r
j
, j
= 1
,
2
,
(13)
по системам собственных функций
{
X
j,n
(
r
)
}
∞
n
=0
следующих задач
(
j
= 1
,
2)
Штурма – Лиувилля
X
00
j
(
r
) +
θ
j
X
j
(
r
) = 0
, r
j
−
1
< r < r
j
;
X
0
j
(
r
j
−
1
) = 0
, X
0
j
(
r
j
) = 0
,
(14)
где
r
0
= 0;
δ
n
=
0
,
5
, n
= 0;
1
, n >
0
.
Собственные значения
θ
j,n
и собственные функции задач (14) име-
ют вид [16]
θ
j,n
=
πn
r
j
−
r
j
−
1
;
X
j,n
(
r
) = cos
θ
j,n
(
r
−
r
j
−
1
)
, j
= 1
,
2
.
68
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 4
