— координатные столбцы;
ρ
— плотность газа;
E
=
с
v
θ
+
|
v
|
2
2
— полная
энергия газа;
с
v
— теплоемкость при постоянном объеме;
θ
— тем-
пература газа;
|
v
|
2
=
v
i
v
i
— квадрат модуля скорости;
p
=
ρ
R
μ
θ
—
давление,
R
— универсальная газовая постоянная;
μ
— молекулярная
масса газа;
g
= det
g
ij
— детерминант метрической матрицы
g
ij
=
= r
i
∙
r
j
=
Q
k
i
Q
l
j
δ
kl
;
v
i
— компоненты вектора скорости в базисе
r
i
ада-
птивной системы координат
X
i
;
Q
j
i
=
∂x
j
∂X
i
— компоненты якобиевой
матрицы преобразования декартовых координат в адаптивные;
E
—
метрический тензор;
r
= r
i ∂
∂X
i
— набла-оператор в криволинейных
координатах
X
i
;
γ
=
c
p
/c
v
— коэффициент Пуассона.
Кроме системы (1), имеющей дивергентный вид, рассмотрим также
систему уравнений газовой динамики недивергентного вида [1]
∂
ˉU
∂t
+
P
i
j
∂
ˉV
j
∂X
i
= 0
,
(3)
где
ˉU =
ρ
ρ
ˉ
v
1
ρ
ˉ
v
2
ρ
ˉ
v
3
ρE
;
ˉV
i
=
ρ
ˉ
v
i
ρ
ˉ
v
i
ˉ
v
1
+
pδ
i
1
ρ
ˉ
v
i
ˉ
v
2
+
pδ
i
2
ρ
ˉ
v
i
ˉ
v
3
+
pδ
i
3
ˉ
v
i
(
ρE
+
p
)
,
(4)
а
ˉ
v
i
— компоненты в декартовой системе координат.
Схема ТVD для дивергентной системы.
Рассмотрим способ по-
лучения TVD-схемы 2-го порядка аппроксимации, основанный на ме-
тоде Хартена [3] (методе модифицированного потока), который за-
ключается в применении TVD-схемы 1-го порядка аппроксимации
к соответствующим образом модифицированным потокам функций:
˜
f
=
f
+
1
λ
g
, где
λ
=
Δ
X
Δ
t
, а
g
— модифицирующая добавка (будет
введена ниже). Тогда конечно-разностные соотношения, аппроксими-
рующие уравнения Эйлера (1), можно представить в виде явной схемы
U
n
+1
k
= U
n
k
−
λ
1
( ˜V
1
,n
k
+1
/
2
−
˜V
1
,n
k
−
1
/
2
)
−
−
λ
2
( ˜V
2
,n
k
+1
/
2
−
˜V
2
,n
k
−
1
/
2
)
−
λ
3
( ˜V
3
,n
k
+1
/
2
−
˜V
3
,n
k
−
1
/
2
) =
= U
n
k
−
3
X
i
=1
[
λ
i
( ˜V
i,n
k
+1
/
2
−
˜V
i,n
k
−
1
/
2
)]
,
(5)
88
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011. № 2
