P
j,n
i,k
=
P
j
i
(
X
k
, t
n
)
— компоненты обратной матрицы Якоби перехода
из декартовых координат к адаптивным. Матрица
R
i,n
k
+1
/
2
правых соб-
ственных векторов получается из (7)–(9) заменой
P
i
j
на
δ
i
j
,
v
i
на
ˉ
v
i
,
g
ii
на 1 для всех
i
.
Столбец
Φ
i,n
k
+1
/
2
определяется по формулам (10), (11), в кото-
рых следует провести замену
a
i,n
j,k
+1
/
2
→
˜
a
i,n
j,k
+1
/
2
, где
˜
a
i,n
j,k
+1
/
2
=
= ˉ
a
i,n
j,k
+1
/
2
P
j,n
i,k
+1
/
2
, а
ˉ
a
i,n
j,k
= ˉ
a
i
j
(
X
k
, t
n
)
— собственные значения матрицы
G
i
, в декартовой системы координат имеющие вид
a
i
1
= ˉ
v
i
−
a
;
a
i
2
= ˉ
v
i
;
a
i
3
= ˉ
v
i
;
a
i
4
= ˉ
v
i
;
a
i
5
= ˉ
v
i
+
a.
(19)
Матрицы левых собственных векторов
(R
i
k
+1
/
2
)
−
1
также получа-
ются из соотношений (13)–(15) заменой
P
i
j
на
δ
i
j
,
v
i
на
ˉ
v
i
,
g
ii
= 1
для
всех
i
.
Была проведена серия численных тестов для апробации разрабо-
танного метода TVD. В качестве сравнения использовались результаты
задач, полученные по методу ленточно-адаптивных сеток на основе
схем типа Мак-Кормака [1], а также численные расчеты на основе
схемы RKDG, взятые из [5].
Задача о распаде произвольного разрыва.
В этой классической
задаче [1] в качестве начальных данных были заданы скачки безраз-
мерной плотности и давления: при
x
6
0
,
5
p
= 1
,
ρ
= 1
; при
x >
0
,
5
p
= 0
,
1
,
ρ
= 0
,
125
(все параметры здесь и далее, в том числе гео-
метрические размеры и время, — безразмерные). На рис. 1 показаны
распределения плотности, давления и скорости газа в момент времени
t
= 0
,
25
. Решение по методу TVD имеет значительно более высокую
точность решения, в том числе для скачка плотности и давления на
ударных волнах и на контактном разрыве. “Размазывание” решения на
скачках для метода TVD происходит на одной-двух разностных ячей-
ках, а для метода Мак-Кормака — на трех-четырех. Шаг расчетной
сетки
Δ
x
= 0
,
0025
.
Течение газа в канале со ступенькой.
Сверхзвуковой поток иде-
ального газа (число Маха M
= 3
, коэффициент Пуассона
γ
= 7
/
5
)
затекает в прямоугольный канал размером
3
×
1
, на расстоянии 0,6 от
левой грани которого располагается ступенька высотой 0,2. Началь-
ные условия:
p
= 0
,
05
,
ρ
= 0
,
5
,
v
x
=
v
y
= 0
; граничные условия входа
потока:
p
= 1
/γ
,
ρ
= 1
,
v
x
= 3
,
v
y
= 0
. На рис. 2 показаны результаты
решения этой задачи методом Мак-Кормака и по разработанной схеме
TVD с разными значениями параметра диссипации
ε
, а также числен-
ные результаты, полученные в ИПМ им. М.В. Келдыша [5]. Решение
по методу ТVD при
ε
= 0
,
01
обладает более высокой четкостью линий
уровня, чем по схеме Мак-Кормака, — “размазывание” ударных волн
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011. № 2
93
