9 / 14
плотность парафина
ρ
1
= 897
кг/м
3
;
T
1
= 350
K; теплоемкость воды
c
= 4200
Дж/(кг
∙
K); теплопроводность воды
λ
= 0
,
668
Вт/(м
∙
K); плот-
ность воды
ρ
= 973
,
702
кг/м
3
; коэффициент динамической вязкости
воды
η
= 368
,
77
∙
10
−
6
Па
∙
с.
С учетом принятых допущений при
Re
≈
211
из формулы (9)
находим
α
= 244
,
846
Вт/(м
2
∙
K), затем из (8) получаем значение коэф-
фициента теплопередачи
k
= 195
,
768
Вт/(м
2
∙
K).
Наиболее удобный способ определения зависимости
R
(
t
)
— непо-
средственное численное решение уравнения (3) с начальным условием
(5). Для этого введем следующие безразмерные комбинации:
Fo =
a
1
t
R
2
1
;
e
r
=
r
R
1
;
e
k
=
kR
1
2
λ
1
;
e
q
=
q
(
t
)
R
1
c
1
2
λ
1
L
;
e
T
=
T c
1
L
.
Подставив (15) в (3), получим задачу (3), (5) в безразмерном виде
e
R
,
Fo
=
2
e
R
exp
−
e
R
2
4Fo
!
exp
−
1
4Fo
+
e
kE
1
1
4Fo
−
e
kE
1
e
R
2
4Fo
!
×
×
h
β
e
q
−
e
k
e
T
0
+
e
k
e
T
1
i
;
(16)
e
R
(0) = 1
.
(17)
Решая (16), (17) методом Рунге – Кутты четвертого порядка с ав-
томатическим выбором шага и возвращаясь к исходным переменным,
находим зависимость
R
(
t
)
. Следует обратить внимание, что вместо
непрерывной функции
R
(
t
)
получается набор ее значений в точках,
определяемых выбранным шагом по времени. Ввиду этого темпера-
тура по формуле (15) также вычисляется только в соответствующие
моменты времени
t
. Чтобы избежать таких ограничений, в выраже-
ние (15) подставляются не дискретные значения координаты фронта
плавления, а интерполирующая функция, проходящая через эти точки,
например, сплайны третьего порядка.
Поскольку в настоящей статье рассмотрена однофазная задача, в
первом приближении время достижения фронтом плавления внеш-
ней стенки можно найти, остановив вычисления в соответствующий
момент. Использование подобного приближения в случае двухфазной
задачи будет некорректно, так как в ней граничные условия ставятся
и на внутренней, и на внешней поверхностях цилиндра.
При
β
= 0
время, за которое расплавится весь объем наполнителя,
составляет 33,72 ч. Зависимости
R
(
t
)
и
T
(
r, t
)
показаны на рис. 2.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 1
107