−
λ
1
(
T
1
)
∂T
1
∂z
z
=
d
=
1
R
(
T
1
(
r, d, t
)
−
T
2
(
r, d, t
)) =
=
−
λ
2
(
T
2
)
∂T
2
∂z
z
=
d
, t >
0
,
0
6
r
6
r
0
.
(9)
Здесь приняты следующие обозначения: значения индекса
j
= 1
и
j
= 2
соответствуют слоям 1 и 2 составного цилиндра;
T
j
(
r, z, t
)
—
искомые температурные поля;
ρ
,
c
и
λ
— плотность, удельная теплоем-
кость и коэффициент теплопроводности соответственно;
σ
— постоян-
ная Стефана–Больцмана;
ε
— степень черноты излучающей поверхно-
сти;
R
— термическое сопротивление на поверхности контакта.
Построение алгоритма приближенного решения.
Для нахожде-
ния приближенного аналитического решения задачи (1)–(9) восполь-
зуемся модификацией [5] метода, предложенного в работах [6, 7].
Умножим обе части уравнений (1) и (2) на
r
и введем функции
C
j
(
T
j
, r
) =
ρ
j
rc
j
(
T
j
)
,
Λ
j
(
T
j
, r
) =
rλ
j
(
T
j
)
, j
= 1
,
2
.
Тогда уравнения (1) и (2) можно записать в виде
C
1
(
T
1
, r
)
∂T
1
∂t
=
div
(Λ
1
(
T
1
, r
)
grad
T
1
)
, t >
0
,
0
< r < r
0
,
0
< z < d
;
(10)
C
2
(
T
2
, r
)
∂T
2
∂t
=
div
(Λ
2
(
T
2
, r
)
grad
T
2
)
,
t >
0
,
0
< r < r
0
, d < z < d
+
h,
(11)
где операции div и grad следует рассматривать как операции в прямо-
угольной декартовой системе координат
(
r, z
)
.
Проведем дискретизацию временн´ой переменной
t
системой точек
t
k
=
kτ
,
k
= 1
,
2
, . . .
с достаточно малым шагом
τ >
0
и заменим в
уравнениях (10), (11) производные по времени конечно-разностными
отношениями
∂T
j
∂t
≈
T
(
k
)
j
(
r, z
)
−
T
(
k
−
1)
j
(
r, z
)
τ
, k
= 1
,
2
, . . . , j
= 1
,
2
,
где
T
(
k
)
j
(
r, z
)
— приближенные значения функций
T
j
(
r, z, t
)
при
t
=
t
k
. Следует отметить, что согласно начальным условиям (3) и
(4)
T
(0)
j
(
r, z
) =
T
C
.
Полагая на каждом временном слое
t
=
t
k
все нелинейности из-
вестными, вычисленными на предыдущем временном слое
t
=
t
k
−
1
,
обозначим
C
(
k
)
j
(
r, z
) =
C
j
T
(
k
−
1)
j
(
r, z
)
, r ,
Λ
(
k
)
j
(
r, z
) = Λ
j
T
(
k
−
1)
j
(
r, z
)
, r , j
= 1
,
2;
46
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011. № 3
