Отметим, что задачи (12)–(14) и (15)–(17) на каждом временном слое
t
=
t
k
решаются независимо.
На
k
-м шаге итерации функции
T
(
k
)
j
(
r, z
)
будем искать в форме
разложения в двойные тригонометрические ряды Фурье
T
(
k
)
j
(
r, z
) =
∞
X
m
=0
∞
X
n
=0
γ
mn
a
(
k
)
j,mn
X
j,mn
(
r, z
)
, j
= 1
,
2
,
γ
mn
=
γ
m
γ
n
,
γ
m
=
0
,
5
, m
= 0;
1
, m >
0
,
по полным и ортогональным [5] в
областях
Ω
j
,
j
= 1
,
2
, системам функций
{
X
j,mn
(
r, z
)
}
∞
m,n
=0
:
X
1
,mn
(
r, z
) = cos (
μ
m
r
) cos (
ν
1
,n
z
)
,
Ω
1
= (0
, r
0
)
×
(0
, d
) ;
X
2
,mn
(
r, z
) = cos (
μ
m
r
) cos (
ν
2
,n
(
z
−
d
))
,
Ω
2
= (0
, r
0
)
×
(
d, d
+
h
)
,
где
μ
m
=
mπ
r
0
,
ν
1
,n
=
nπ
d
,
ν
2
,n
=
nπ
h
.
Для нахождения коэффициентов
a
(
k
)
j,mn
этих разложений умножим
уравнения (12) и (15) на функции
X
1
,ps
(
r, z
)
и
X
2
,ps
(
r, z
)
соответствен-
но, а затем проинтегрируем полученные соотношения по областям
Ω
1
и
Ω
2
. С учетом граничных условий (13), (14) и (16), (17) приходим к
бесконечным системам линейных алгебраических уравнений относи-
тельно искомых коэффициентов
a
(
k
)
j,mn
:
∞
X
m
=0
∞
X
n
=0
A
(
k
)
j,psmn
γ
mn
a
(
k
)
j,mn
=
b
(
k
)
j,ps
, p
= 0
,
1
,
2
, . . . , s
= 0
,
1
,
2
, . . . , j
=1
,
2
,
(18)
где
A
(
k
)
j,psmn
=
τ
(
μ
m
μ
p
+
ν
j,n
ν
j,s
)
ξ
(
k
)
j,
(
|
m
−
p
|
,
|
n
−
s
|
)
−
ξ
(
k
)
j,
(
m
+
p,n
+
s
)
+
+
τ
(
μ
m
μ
p
−
ν
j,n
ν
j,s
)
ξ
(
k
)
j,
(
|
m
−
p
|
,n
+
s
)
−
ξ
(
k
)
j,
(
m
+
p,
|
n
−
s
|
)
+
+
η
(
k
)
j,
(
|
m
−
p
|
,
|
n
−
s
|
)
+
η
(
k
)
j,
(
m
+
p,
|
n
−
s
|
)
+
η
(
k
)
j,
(
|
m
−
p
|
,n
+
s
)
+
η
(
k
)
j,
(
m
+
p,n
+
s
)
;
b
(
k
)
j,ps
=
f
(
k
)
j
+
∞
X
m
=0
∞
X
n
=0
γ
mn
a
(
k
−
1)
j,mn
×
×
η
(
k
)
j,
(
|
m
−
p
|
,
|
n
−
s
|
)
+
η
(
k
)
j,
(
m
+
p,
|
n
−
s
|
)
+
η
(
k
)
j,
(
|
m
−
p
|
,n
+
s
)
+
η
(
k
)
j,
(
m
+
p,n
+
s
)
;
f
(
k
)
1
=
8
τ
d
(
−
1)
s
+1
θ
(
k
)
p
+
φ
(
k
)
p
, f
(
k
)
2
=
8
τ
h
(
−
1)
s
+1
ψ
(
k
)
p
+
θ
(
k
)
p
.
Здесь
ξ
(
k
)
j,
(
p,s
)
и
η
(
k
)
j,
(
p,s
)
— коэффициенты Фурье разложений функций
Λ
(
k
)
j
(
r, z
)
и
C
(
k
)
j
(
r, z
)
соответственно в двойные тригонометрические
48
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011. № 3
