ряды по системам функций
{
X
j,ps
(
r, z
)
}
∞
p,s
=0
;
φ
(
k
)
p
,
θ
(
k
)
p
и
ψ
(
k
)
p
— коэф-
фициенты Фурье разложений функций
Q
(
k
)
1
(
r
)
,
Q
(
k
)
0
(
r
)
и
Q
(
k
)
2
(
r
)
соответственно в тригонометрические ряды по системе функций
{
cos (
μ
p
r
)
}
∞
p
=0
.
Системы вида (18) можно преобразовать [5] к стандартному виду
∞
X
w
=1
D
(
k
)
j,vw
˜
x
(
k
)
j,w
= ˜
b
(
k
)
j,v
, v
= 1
,
2
, . . . , j
= 1
,
2
,
(19)
где
˜
x
(
k
)
j,w
и
˜
b
(
k
)
j,v
— одномерные массивы, составленные из элементов
двумерных массивов
x
(
k
)
j,mn
≡
γ
mn
a
(
k
)
j,mn
и
b
(
k
)
j,ps
соответственно, а
D
(
k
)
j,vw
— двумерный массив, составленный из элементов многомерного мас-
сива
A
(
k
)
j,psmn
. Для решения бесконечных систем вида (19) применим
метод редукции [8, 9], а решения конечных систем, полученных из
(19) усечением, могут быть найдены методом квадратных корней [10].
В результате построен алгоритм нахождения приближенного ана-
литического решения задачи (1)–(9) в форме тригонометрических мно-
гочленов
T
1
(
r, z, t
k
)
≈
N
1
X
m
=0
N
1
−
m
X
n
=0
γ
mn
a
(
k
)
1
,mn
cos (
μ
m
r
) cos (
ν
1
,n
z
) ;
T
2
(
r, z, t
k
)
≈
N
2
X
m
=0
N
2
−
m
X
n
=0
γ
mn
a
(
k
)
2
,mn
cos (
μ
m
r
) cos (
ν
2
,n
(
z
−
d
))
,
коэффициенты
x
(
k
)
j,mn
≡
γ
mn
a
(
k
)
j,mn
которых находят из конечных систем
линейных алгебраических уравнений
M
j
X
w
=1
D
(
k
)
j,vw
˜
x
(
k
)
j,w
= ˜
b
(
k
)
j,v
, v
= 1
,
2
, . . . M
j
, j
= 1
,
2
.
Здесь
M
j
= (
N
j
+ 1) (
N
j
+ 2)
/
2
, а значения
N
j
определяются соглас-
но оценке Рунге [11].
Выбор шага по временной переменной осуществляется автома-
тически. Для обеспечения заданной точности решения используется
правило двойного пересчета [10].
Результаты численных расчетов.
Разработанный алгоритм ис-
пользован для расчета температурного поля металлического цилиндра
(слой 2) высотой
h
= 20
∙
10
−
3
м, на нижнее основание которого нане-
сено поглощающее покрытие (слой 1) толщиной
d
= 0
,
5
∙
10
−
3
м [1].
Вычисления проводились при следующих значениях параметров зада-
чи:
r
0
= 100
∙
10
−
3
м,
r
= 10
∙
10
−
3
м,
ρ
1
= 3000
кг/м
3
,
ρ
2
= 7780
кг/м
3
,
T
С
= 300
K,
q
0
= 5
∙
10
6
Вт/м
2
,
α
= 600
Вт/(м
2
∙
K),
R
= 5
∙
10
−
4
м
2
∙
K/Вт,
σ
= 5
,
67
∙
10
−
8
Вт/(м
2
∙
K
4
),
ε
= 0
,
8
,
Δ
t
= 2
c,
t
0
= 1
,
5
c.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011. № 3
49
