Background Image
Previous Page  3 / 8 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 3 / 8 Next Page
Page Background

Обозначим через

S

i

=

x

i

1

+

x

i

2

+

. . .

+

x

ir

i

+(

N

i

r

i

)

x

ir

i

суммарное

время работы (“наработку”) всех элементов

i

-го типа на испытани-

ях,

i

= 1

, . . . , m

. Требуется на основе вектора результатов испытаний

по различным типам элементов системы

S

= (

S

1

, . . . , S

m

)

постро-

ить нижнюю

γ

-доверительную границу

K

=

K

(

S

)

для коэффициента

готовности системы (1), т.е. функцию результатов испытаний

K

(

S

)

такую, что

P

{

K

(

S

)

K

(

u

)

} ≥

γ

при всех возможных значениях

вектора параметров

u

.

Метод Ллойда – Липова.

Рассмотрим случай, когда время работы

до отказа элементов системы имеет экспоненциальное распределение:

F

i

(

t

) = 1

exp (

t/u

i

)

, i

= 1

, . . . , m

. Обозначим через

u

i

=

u

i

(

γ

) =

2

S

i

χ

2

γ

(2

r

i

)

(2)

стандартную нижнюю

γ

-доверительную границу для параметра

u

i

(среднее время безотказной работы

i

-го элемента для “экспоненци-

ального случая” [1–3] и др.),

i

= 1

, . . . , m.

Коэффициент готовности

системы (1) может быть записан в виде

K

(

u

) = exp [

f

(

u

)]

,

где

f

(

u

) =

n

X

i

=1

f

i

(

u

i

)

.

(3)

Здесь

f

i

(

u

i

) = ln [

u

i

/

(

u

i

+

v

i

)]

,

i

= 1

, . . . , m.

Задачу можно сфор-

мулировать как задачу доверительного оценивания снизу функции

f

(

u

)

(3), которая монотонно возрастает по каждому параметру

u

i

,

i

= 1

, . . . , m.

Поэтому нижняя доверительная граница функции

f

(

u

)

может быть построена путем простой подстановки доверительных гра-

ниц

u

i

для параметров отдельных элементов в функцию (3). Когда

число

m

элементов системы велико, такая простая процедура, пред-

ложенная Д. Ллойдом и М. Липовым [1, 2, 5] оказывается малопригод-

ной. Действительно, в силу указанной монотонности, также учитывая

независимость результатов испытаний различных элементов, имеют

место неравенства

P

{

f

(

u

1

, . . . , u

m

)

f

(

u

1

, . . . , u

m

)

} ≥

P

(

m

\

i

=1

(

u

i

u

i

)

)

=

m

Y

i

=1

P

(

u

i

u

i

) =

γ

m

.

Согласно приведенному выражению, коэффициент доверия

γ

m

для

такой процедуры быстро убывает при возрастании размерности зада-

чи

m

. Таким образом, этот упрощенный подход, использующий только

монотонность функции

f

(

u

)

, оказывается неудачным при увеличении

числа

m

элементов в системе. Другими словами, чтобы построить

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 4

17