Background Image
Previous Page  6 / 8 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 6 / 8 Next Page
Page Background

J

Пусть

γ

1

e

3

/

2

. Обозначим через

u

= (

u

1

, u

2

, . . . , u

m

)

век-

тор доверительных границ для параметров отдельных элементов

u

i

.

Пусть

u

= (

u

1

, u

2

, . . . , u

m

)

E

+

m

— вектор значений параметров.

В соответствии с (2) выполняются равенства

P

{

u

i

u

i

}

=

γ, i

= 1

, . . . , m.

(13)

Рассмотрим пространство всех возможных значений вектора довери-

тельных границ

u

= (

u

1

, u

2

, . . . , u

m

)

, которое, очевидно, совпадает

с

E

+

m

.

В силу выпуклости функции

f

(

u

)

справедливо неравенство

f

(

u

)

f

(

u

) +

m

X

i

=1

C

i

(

u

i

u

i

)

(14)

при любом

u

E

+

m

, где

C

i

=

∂f/∂u

i

(

u

)

>

0

,

i

= 1

, . . . , m

— констан-

ты. При фиксированном векторе

u

E

+

m

рассмотрим события

A

=

{

f

(

u

)

f

(

u

)

}

;

B

=

(

m

X

i

=1

C

i

u

i

m

X

i

=1

C

i

u

i

)

.

Из (14) следует, что

B

A

, откуда с учетом неравенств (6) и (13)

P

{

f

(

u

)

f

(

u

)

} ≥

P

(

m

X

i

=1

C

i

u

i

m

X

i

=1

C

i

u

i

)

γ,

что доказывает неравенство (11).

I

Далее нетрудно убедиться, что определенная по (3) функция удо-

влетворяет условиям теоремы 1. Эта функция монотонно возрастает

по каждому параметру

u

i

, т.е. надежность системы возрастает при

увеличении параметров надежности элементов

u

i

,

i

= 1

, . . . , m

. Кро-

ме того, непосредственным дифференцированием можно показать, что

f

00

i

(

u

i

)

<

0

,

i

= 1

, . . . , m

, т.е. функция

f

(

u

)

выпукла вверх по векто-

ру параметров элементов

u

= (

u

1

, u

2

, . . . , u

m

)

. Следовательно, при

γ

1

e

3

/

2

= 0

,

777

нижняя

γ

-доверительная граница для функции

f

(

u

)

может быть вычислена как

f

=

f

(

u

)

. Поскольку коэффици-

ент готовности системы

K

(

u

) = exp [

f

(

u

)]

, аналогично может быть

вычислена и нижняя

γ

-доверительная граница для коэффициента го-

товности системы

K

=

K

(

u

) =

m

Y

i

=1

K

i

(

u

i

)

,

(15)

где

u

i

=

u

i

(

γ

)

— нижние доверительные границы (2) для параме-

тров отдельных элементов с тем же коэффициентом доверия

γ

. Таким

образом, в отличие от метода Ллойда – Липова [2] в его исходном ва-

рианте (см. (4)), в рассматриваемом подходе коэффициент доверия

γ

20

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 4