Background Image
Previous Page  4 / 8 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 4 / 8 Next Page
Page Background

нижнюю доверительную границу с заданным коэффициентом дове-

рия

γ

для показателя надежности системы (в рамках рассматривае-

мого метода), необходимо завысить коэффициент доверия в (2) для

элементов, т.е.

f

=

f

[

u

1

(

m

γ

)

, . . . , u

m

(

m

γ

)] ;

K

=

K

[

u

1

(

m

γ

)

, . . . , u

m

(

m

γ

)]

.

(4)

Модифицированный метод Ллойда – Липова.

Предложим метод,

который позволяет значительно улучшить указанную выше процеду-

ру (метод Ллойда – Липова [2]), основанную на непосредственном ис-

пользовании доверительных границ для параметров отдельных эле-

ментов. Для этого используем некоторые предварительные результаты

и неравенства.

Пусть

z

i

0

,

i

= 1

, . . . , m

— независимые (неотрицательные)

случайные величины с функцией распределения

H

i

(

t

) =

P

{

ξ

i

< t

}

и плотностью распределения

h

i

(

t

) =

H

0

i

(

t

)

. Пусть

h

i

(

t

)

кусочно-

непрерывная по

t

0

,

i

= 1

, . . . , m

, предположим, что функция

Λ

i

(

t

) =

ln [1

H

i

(

t

)]

выпукла вниз по

t

0

, т.е. случайная ве-

личина

z

i

имеет ВФИ-распределение (с возрастающей функцией ин-

тенсивности отказов

λ

i

(

t

) = Λ

0

i

(

t

)

) для каждого

i

= 1

, . . . , m

. Пусть

константы

t

i

0

,

i

= 1

, . . . , m,

удовлетворяют условиям

H

i

(

t

i

) =

P

{

z

i

t

i

}

=

γ, i

= 1

, . . . , m,

(5)

где

γ

1

e

3

/

2

= 0

,

777

;

t

i

— квантиль доверия

γ

для случайной

величины

z

i

, i

= 1

, . . . , m

. Тогда справедливо неравенство

P

(

m

X

i

=1

z

i

m

X

i

=1

t

i

)

γ.

(6)

Докажем неравенство (6). Достаточно доказать его для

m

= 2

(по-

скольку сумма независимых случайных величин с ВФИ-распределени-

ем также имеет ВФИ-распределение). График выпуклой вниз функции

Λ

i

(

t

)

расположен выше касательной прямой в точке (

t

i

,

Λ

i

(

t

i

)

):

Λ

i

(

t

)

i

(

t

i

) +

λ

i

(

t

i

) (

t

t

i

)]

+

при всех

t

0

,

(7)

где

y

+

= max (0

, y

)

,

λ

i

(

t

i

) = Λ

0

i

(

t

i

)

,

i

= 1

, . . . , m

.

Из (7) следует, что

P

{

z

1

+

z

2

t

1

+

t

2

} ≥

P

(

2

X

i

=1

(

τ

i

+

y

i

)

t

1

+

t

2

)

=

=

P

(

y

1

+

y

2

2

X

i

=1

(

t

i

τ

i

)

)

.

(8)

18

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 4