Background Image
Previous Page  5 / 8 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 5 / 8 Next Page
Page Background

Здесь

y

i

— случайная величина, имеющая экспоненциальное распре-

деление с функцией

1

exp (

α

i

t

)

,

α

i

=

λ

i

(

t

i

)

;

τ

i

=

t

i

i

(

t

i

)

i

]

,

i

= 1

,

2

. Отметим, что в соответствии с (5) справедливо равенство

Λ

i

(

t

i

) =

ln (1

γ

)

,

i

= 1

,

2

. Из неравенства (8) получим

P

{

z

1

+

z

2

t

1

+

t

2

} ≥

P

{

y

1

+

y

2

A

}

=

ϕ

(

α

1

, α

2

)

,

(9)

где

A =

ln (1

γ

)

1

α

1

+

1

α

2

;

ϕ

(

α

1

, α

2

) =

ZZ

y

1

+

y

2

A

α

1

e

α

1

y

1

α

2

e

α

2

y

2

dy

1

dy

2

.

(10)

Покажем, что при

γ

1

e

3

/

2

выполняется неравенство

ϕ

(

α

1

, α

2

)

γ

(11)

Выражение (10) симметрично относительно

α

1

, α

2

. Поэтому доста-

точно соблюдения неравенства (11) при всех

α

1

α

2

. Обозначим

B

=

ln (1

γ

)

. После выполнения простых преобразований из (10)

получаем, что неравенство (11) эквивалентно равенству

g

(

x

) =

x

+

+ exp (

Bx

)

x

exp (

B/x

)

1

при всех

0

< x

1

, где

x

=

α

2

1

.

Если

B

3

/

2

, то вторая производная

g

00

(

x

) =

B

2

exp (

Bx

)

(

B

2

/x

3

) exp (

B/x

)

0

при всех

0

< x

1

, т.е. функция

g

(

x

)

выпукла вниз на интервале

0

< x

1

. Поскольку

g

(+0) =

g

(1) = 1

,

тогда при

B

3

/

2

,

g

(

x

)

1

при всех

0

< x

1

, что доказывает

справедливость неравенства (6) при

γ

1

e

3

/

2

.

Случайная величина

S

i

является

r

i

-кратной сверткой независи-

мых случайных величин, имеющих экспоненциальное распределение

с функцией распределения

1

exp (

t/u

i

)

[1]. Следовательно, ве-

личина

S

i

имеет ВФИ-распределение. Таким образом, определенная

выше в (2) нижняя

γ

-доверительная граница

u

i

также имеет ВФИ-

распределение. С учетом неравенства (6) можно сформулировать сле-

дующую теорему.

Теорема 1.

Пусть функция

f

(

u

) =

f

(

u

1

, . . . , u

m

)

монотонно

строго возрастает по каждому параметру

u

i

>

0

,

имеет непре-

рывные частные производные

∂f/∂u

i

>

0

,

i

= 1

, . . . , m,

и выпукла

вверх по вектору

u

= (

u

1

, . . . , u

m

)

E

+

m

.

Тогда при

γ

1

e

3

/

2

справедливо неравенство

P

{

f

(

u

1

, u

2

, . . . , u

m

)

f

(

u

1

, u

2

, . . . , u

m

)

} ≥

γ,

(12)

где

u

i

— нижняя

γ

-доверительная граница

(2)

для параметра

u

i

,

i

= 1

, . . . , m

.

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 4

19