5 / 8
Здесь
y
i
— случайная величина, имеющая экспоненциальное распре-
деление с функцией
1
−
exp (
−
α
i
t
)
,
α
i
=
λ
i
(
t
i
)
;
τ
i
=
t
i
−
[Λ
i
(
t
i
)
/α
i
]
,
i
= 1
,
2
. Отметим, что в соответствии с (5) справедливо равенство
Λ
i
(
t
i
) =
−
ln (1
−
γ
)
,
i
= 1
,
2
. Из неравенства (8) получим
P
{
z
1
+
z
2
≤
t
1
+
t
2
} ≥
P
{
y
1
+
y
2
≤
A
}
=
ϕ
(
α
1
, α
2
)
,
(9)
где
A =
−
ln (1
−
γ
)
1
α
1
+
1
α
2
;
ϕ
(
α
1
, α
2
) =
ZZ
y
1
+
y
2
≤
A
α
1
e
−
α
1
y
1
α
2
e
−
α
2
y
2
dy
1
dy
2
.
(10)
Покажем, что при
γ
≥
1
−
e
−
3
/
2
выполняется неравенство
ϕ
(
α
1
, α
2
)
≥
γ
(11)
Выражение (10) симметрично относительно
α
1
, α
2
. Поэтому доста-
точно соблюдения неравенства (11) при всех
α
1
≥
α
2
. Обозначим
B
=
−
ln (1
−
γ
)
. После выполнения простых преобразований из (10)
получаем, что неравенство (11) эквивалентно равенству
g
(
x
) =
x
+
+ exp (
−
Bx
)
−
x
exp (
−
B/x
)
≤
1
при всех
0
< x
≤
1
, где
x
=
α
2
/α
1
.
Если
B
≥
3
/
2
, то вторая производная
g
00
(
x
) =
B
2
exp (
−
Bx
)
−
−
(
B
2
/x
3
) exp (
−
B/x
)
≥
0
при всех
0
< x
≤
1
, т.е. функция
g
(
x
)
выпукла вниз на интервале
0
< x
≤
1
. Поскольку
g
(+0) =
g
(1) = 1
,
тогда при
B
≥
3
/
2
,
g
(
x
)
≤
1
при всех
0
< x
≤
1
, что доказывает
справедливость неравенства (6) при
γ
≥
1
−
e
−
3
/
2
.
Случайная величина
S
i
является
r
i
-кратной сверткой независи-
мых случайных величин, имеющих экспоненциальное распределение
с функцией распределения
1
−
exp (
−
t/u
i
)
[1]. Следовательно, ве-
личина
S
i
имеет ВФИ-распределение. Таким образом, определенная
выше в (2) нижняя
γ
-доверительная граница
u
i
также имеет ВФИ-
распределение. С учетом неравенства (6) можно сформулировать сле-
дующую теорему.
Теорема 1.
Пусть функция
f
(
u
) =
f
(
u
1
, . . . , u
m
)
монотонно
строго возрастает по каждому параметру
u
i
>
0
,
имеет непре-
рывные частные производные
∂f/∂u
i
>
0
,
i
= 1
, . . . , m,
и выпукла
вверх по вектору
u
= (
u
1
, . . . , u
m
)
∈
E
+
m
.
Тогда при
γ
≥
1
−
e
−
3
/
2
справедливо неравенство
P
{
f
(
u
1
, u
2
, . . . , u
m
)
≤
f
(
u
1
, u
2
, . . . , u
m
)
} ≥
γ,
(12)
где
u
i
— нижняя
γ
-доверительная граница
(2)
для параметра
u
i
,
i
= 1
, . . . , m
.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 4
19