Previous Page  2 / 9 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 2 / 9 Next Page
Page Background

Физическая постановка задачи и математическая модель про-

цесса.

Рассмотрим задачу о нахождении нестационарного температур-

ного поля

u

(

x, t

)

в плоском слое конечной толщиной

l

, заполненном

средой, коэффициент теплопроводности

λ

которой изменяется в зави-

симости от температуры

u

по степенному закону

λ

(

u

) =

λ

0

u

σ

, где

λ

0

>

0

;

σ >

0

— параметр нелинейной среды.

В начальный момент времени

t

= 0

температура слоя равна нулю.

При

t >

0

на поверхности

x

= 0

этого слоя поддерживается темпера-

тура

U

0

, а на поверхности

x

=

l

— нулевая температура. Во внутренних

точках слоя происходит поглощение теплоты, удельная мощность ко-

торой

f

(

u

) =

p

0

u

α

, где

α >

0

;

p

0

>

0

— коэффициент поглощения.

Математическая модель процесса имеет вид

ρc

∂u

∂t

=

λ

0

∂x

u

σ

∂u

∂x

p

0

u

α

,

0

< x < l, t >

0;

u

(

x,

0) = 0

,

0

< x < l

;

u

(0

, t

) =

U

0

, u

(

l, t

) = 0

, t >

0

.

(1)

Здесь

ρ

,

c

— плотность и удельная теплоемкость среды.

Согласно общей теории нелинейных тепловых процессов, при

σ >

0

тепловое возмущение от нагретой поверхности

x

= 0

распро-

страняется в виде тепловой волны с конечной скоростью перемещения

ее фронта

x

(

t

)

. Кроме того, при некоторых значениях параметра

α

в

задаче (1) также наблюдается эффект пространственной локализации,

когда тепловое возмущение от нагретой поверхности проникает в слой

на конечную глубину

L

и не достигает поверхности

x

=

l

даже при

t

→ ∞

.

Фронт тепловой волны.

Непосредственной проверкой можно убе-

диться в существовании точного стационарного решения дифферен-

циального уравнения в задаче (1), имеющего вид

u

st

(

x

) =

 

U

0

1

x

L

2

σ

+1

α

, x < L

;

0

, x

L.

(2)

Здесь

L

=

2

U

σ

+1

α

0

a

2

(

σ

+ 1 +

α

)

p

(

σ

+ 1

α

)

2

1

2

;

(3)

a

2

=

λ

0

/

(

ρc

)

,

p

=

p

0

/

(

ρc

)

.

Отметим, что формула (3) имеет смысл при

α < σ

+ 1

. Форма

профиля стационарного решения зависит от соотношения параметров

σ

и

α

. Качественный вид стационарных температурных профилей (2)

в слое при заданном значении

σ

и различных значениях

α

представлен

на рис. 1.

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 6

17