Previous Page  4 / 9 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 4 / 9 Next Page
Page Background

Рис. 2. Характер изменения положе-

ния фронта тепловой волны

Принимая во внимание (3), вы-

числяем отношение

b

0

/b

1

, в резуль-

тате получаем

x

(

t

) =

L

p

1

exp (

b

1

t

)

.

(8)

Переходя в равенстве (8) к пре-

делу при

t

→ ∞

, видим, что

x

стремится к конечному значению

L

при

α < σ

+ 3

. Очевидно, что это-

му неравенству удовлетворяют та-

кие значения параметров

σ

и

α

, при

которых имеет смысл формула (3).

Решение (4) описывает тепловое возмущение, распространяющее-

ся в виде тепловой волны, фронт

x

(

t

)

которой перемещается с конеч-

ной скоростью. Изменение положения фронта тепловой волны подчи-

няется закону (8) (рис. 2). Следует отметить, что согласно (8) характер-

ное время установления стационарного распределения температуры в

слое можно оценить как

t

уст

=

b

1

1

.

Разностная схема.

Рассмотрим задачу (1) в постановке, когда на-

чальное распределение температуры в слое задает функция

ϕ

(

x

)

:

ϕ

(

x

)

0

,

ϕ

(

x

)

C

[0

, l

]

, таким образом

 

∂u

∂t

=

∂x

k

(

u

)

∂u

∂x

f

(

u

)

,

0

< x < l, t >

0;

u

(

x,

0) =

ϕ

(

x

)

,

0

< x < l

;

u

(0

, t

) =

U

0

, u

(

l, t

) = 0

, t >

0

,

(9)

где

k

(

u

) =

a

2

u

σ

,

f

(

u

) =

pu

α

.

Для численного решения задачи (9) применим разностный метод.

В области

D

= [0

x

l

]

×

[0

t

T

]

зададим равномерную сетку

ω

=

n

(

x

n

, t

m

)

:

x

n

=

nh

,

t

m

=

,

n

= 0

, N

,

m

= 0

, M

o

с шагами

h

=

l/N

и

τ

=

T/M

по переменным

x

и

t

.

Обозначим

y

n

=

y

(

x

n

, t

m

)

,

ˆ

y

n

=

y

(

x

n

, t

m

+1

)

,

ϕ

n

=

ϕ

(

x

n

)

,

ˆ

f

n

=

f

y

n

)

,

ˆ

k

n

=

k

ˆ

y

n

1

+ ˆ

y

n

2

, используя четырехточечный ша-

блон (рис. 3), запишем неявную разностную схему [7, 8]:

ˆ

y

n

y

n

τ

=

1

h

2

h

ˆ

k

n

+1

y

n

+1

ˆ

y

n

)

ˆ

k

n

y

n

ˆ

y

n

1

)

i

ˆ

f

n

, n

= 1

, N

1

.

(10)

Из граничных условий определяем

ˆ

y

0

=

U

0

,

ˆ

y

N

= 0

.

При решении системы (10) на временн´ом слое

t

1

полагаем

y

n

=

ϕ

n

в соответствии с начальным условием. Разностная схема (10)

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 6

19