Previous Page  5 / 9 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 5 / 9 Next Page
Page Background

Рис. 3. Четырехточечный шаблон раз-

ностной схемы

монотонна, имеет погрешность ап-

проксимации

O

(

h

2

+

τ

)

и нелиней-

на относительно

ˆ

y

n

.

Для отыскания решения полу-

ченной системы нелинейных урав-

нений (10) на временн´ом слое

t

m

+1

применим метод последова-

тельных приближений

ˆ

y

(

s

)

n

y

n

τ

=

1

h

2

h

ˆ

k

(

s

1)

n

+1

ˆ

y

(

s

)

n

+1

ˆ

y

(

s

)

n

ˆ

k

(

s

1)

n

ˆ

y

(

s

)

n

ˆ

y

(

s

)

n

1

i

ˆ

f

(

s

1)

n

, n

= 1

, N

1

,

(11)

где

s

= 1

,

2

, . . .

— номер итерации.

В качестве начального приближения

ˆ

y

(0)

n

примем значение

y

n

с пре-

дыдущего временн´ого слоя и вычислим величины

ˆ

k

(0)

n

и

ˆ

f

(0)

n

. Решая

систему (11) методом прогонки [9], находим

ˆ

y

(1)

n

— первое прибли-

жение решения

ˆ

y

n

и т.д. Условие окончания итерационного процесса

имеет вид

max

1

n

N

1

ˆ

y

(

s

)

n

ˆ

y

(

s

1)

n

< ε

, где

ε

— заданное значение абсо-

лютной погрешности.

Выбор величин

h

и

τ

осуществляется на основе методики, предло-

женной в работе [10].

Результаты численных расчетов.

Приведем примеры численного

расчета температуры в слое при следующих значениях параметров:

U

0

= 1

;

l

= 1

;

a

2

= 1

;

σ

= 5

/

2

. Начальное распределение температуры

ϕ

(

x

)

0

.

Пример 1.

Для значений параметров

α

= 1

/

2

и

p

= 32

/

9

, ис-

пользуя формулу (3), находим

L

= 1

/

2

. Следовательно, стационарное

распределение температуры в слое имеет вид

u

(1)

st

(

x

) =

 

(1

2

x

)

2

3

,

0

x <

1

2

;

0

,

1

2

x

1

.

(12)

Распределения температуры в фиксированные моменты времени

t

1

= 0

,

01

с,

t

2

= 0

,

1

с и

t

3

= 0

,

5

с представлены на рис. 4,

а

. Расче-

ты показали, что при

t >

1

,

0

с процесс выходит на стационарный

режим (12).

Пример 2.

При значениях

α

= 3

/

2

и

p

= 10

получаем

L

= 1

/

2

.

В этом случае стационарное распределение температуры представляет

20

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 6