Previous Page  3 / 9 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 3 / 9 Next Page
Page Background

Рис. 1. Качественный вид стационар-

ных температурных профилей в слое

при

σ

= 5

/

2

и значениях

α

= 1

/

2

(

1

),

3/2 (

2

), 5/2 (

3

)

Далее будем исследовать за-

дачи, для которых

L < l

, ко-

гда в (1) наблюдается эффект про-

странственной локализации тепло-

вых возмущений.

С учетом теорем сравнения,

приведенных в работе [6], суще-

ствование стационарного решения

(2) означает следующее: для любо-

го

t

[0

,

)

решение задачи (1)

мажорируется стационарным ре-

шением, т.е.

u

(

x, t

)

u

st

(

x

)

. Это

позволяет записать приближенное решение задачи (1) в форме тепло-

вой волны с конечной скоростью перемещения ее фронта

u

(

x, t

) =

 

U

0

1

x

x

(

t

)

2

σ

+1

α

,

0

x < x

(

t

) ;

0

, x

(

t

)

x

l.

(4)

Для нахождения закона движения фронта тепловой волны запишем

интегральное условие теплового баланса

x

(

t

)

Z

0

∂u

∂t

dx

=

a

2

x

(

t

)

Z

0

∂x

u

σ

∂u

∂x

dx

p

x

(

t

)

Z

0

u

α

(

x, t

)

dx.

(5)

Подставим предполагаемую форму решения (4) в соотношение (5)

и вычислим интегралы в обеих частях равенства (5). Учитывая, что на

фронте

x

=

x

(

t

)

тепловой поток равен нулю, приходим к следующе-

му дифференциальному уравнению:

d

(

x

2

(

t

))

dt

=

b

0

b

1

x

2

(

t

)

,

(6)

где

b

0

= 4

U

σ

0

a

2

σ

+ 3

α

(

σ

+ 1

α

)

2

;

b

1

= 2

U

α

1

0

p

σ

+ 3

α

σ

+ 1 +

α

.

Очевидно, что искомая функция должна удовлетворять начальному

условию

x

(0) = 0

.

(7)

Интегрируя дифференциальное уравнение (6) и учитывая началь-

ное условие (7), находим

x

(

t

) =

r

b

0

b

1

(1

exp (

b

1

t

))

.

18

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 6