3 / 10
Изложена постановка задачи, построена фазовая кривая, соединя-
ющая начальное и конечное положения аффинной системы второго
порядка со скалярным управлением, такая, что управление, реализу-
ющее движение вдоль этой кривой, имеет заданные граничные зна-
чения. Приведен алгоритм изменения построенной фазовой кривой
так, чтобы новая фазовая кривая удовлетворяла ограничениям на со-
стояния. Простроено управление, реализующее движение системы по
построенной фазовой кривой. Приведены результаты решения задачи
терминального управления для системы второго порядка, описываю-
щей колебания математического маятника при наличии ограничений
на состояние с использованием изложенного подхода, а также краткое
обсуждение полученных результатов.
Постановка задачи.
Рассмотрим аффинную систему каноническо-
го вида со скалярным управлением
u
:
¨
y
=
f
(ˉ
y
) +
g
(ˉ
y
)
u
;
(1)
h
k
(ˉ
y
)
≤
0
, k
= 1
, K,
(2)
где
ˉ
y
= (
y
˙
y
)
∈
Ω
⊂
R
2
— вектор состояния системы (1) . Примем, что
система (1) является регулярной, т.е.
g
(ˉ
y
)
6
= 0
для всех
ˉ
y
, удовлетворя-
ющих ограничениям на состояния (2) . Требуется найти непрерывное
управление
u
(
t
)
с граничными значениями
u
|
t
=0
=
u
0
, u
|
t
=
t
∗
=
u
∗
,
(3)
которое является решением задачи терминального управления для си-
стемы (1) с граничными условиями на переменные состояния
ˉ
y
|
t
=0
= ˉ
y
0
= (
y
0
˙
y
0
)
т
,
ˉ
y
|
t
=
t
∗
= ˉ
y
∗
= (
y
∗
˙
y
∗
)
т
; ˉ
y
0
,
ˉ
y
∗
∈
Ω
.
(4)
Время
t
∗
не фиксировано.
Каждое решение
u
(
t
)
поставленной терминальной задачи опреде-
ляет функцию
y
(
t
)
, которая является решением задачи Коши для за-
мкнутой системы
¨
y
=
f
(
y,
˙
y
) +
g
(
y,
˙
y
)
u
(
t
)
;
y
|
t
=0
=
y
0
. Функция
y
(
t
)
и
ее производная по времени удовлетворяют системе ограничений (2).
Граничные значения вторых производных переменной
y
по вре-
мени
t
однозначно определены из условий (3), (4):
¨
y
0
=
f
(
y
0
,
˙
y
0
) +
+
g
(
y
0
,
˙
y
0
)
u
0
;
¨
y
∗
=
f
(
y
∗
,
˙
y
∗
) +
g
(
y
∗
,
˙
y
∗
)
u
∗
.
Исходная терминальная задача может быть сформулирована в виде
задачи поиска такой функции
y
(
t
)
, что
y
|
t
=0
=
y
0
, y
|
t
=
t
∗
=
y
∗
;
˙
y
|
t
=0
= ˙
y
0
,
˙
y
|
t
=
t
∗
= ˙
y
∗
;
¨
y
|
t
=0
= ¨
y
0
,
¨
y
|
t
=
t
∗
= ¨
y
∗
;
h
k
(
y,
˙
y
)
≤
0
, k
= 1
, K, t
∈
[0;
t
∗
]
,
поскольку справедливо следующее утверждение.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2016. № 1
19