6 / 10
|
˜Ψ(
y
)
−
Ψ(
y
)
|
2
на отрезке
[˜
y
l
; ˜
y
r
]
, следует выбрать
d
=
d
−
, если на
текущем отрезке нарушалось ограничение снизу
0
< c
y
1
<
Ψ(
y
)
, и
d
=
d
+
, если нарушалось ограничение сверху
Ψ(
y
)
< c
y
2
.
4. Переходим к следующему отрезку на оси
Oy
фазовой плоскости,
на котором функция
Ψ(
y
)
выходит за ограничения (12) (если такое
есть) и переходим к п. 1. Если таких отрезков больше нет, то алгоритм
завершает свою работу.
После корректного завершения работы алгоритма получим
C
1
-гладкую функцию
Φ(
y
)
,
y
∈
[
y
0
;
y
∗
]
, которая совпадает с функ-
цией
Ψ(
y
)
на тех отрезках, где выполнены ограничения (12) и имеет
вид (13) на отрезках
[˜
y
li
; ˜
y
ri
]
,
i
= 1
, N
. Каждому отрезку
[˜
y
li
; ˜
y
ri
]
,
i
= 1
, N
, соответствует свое значение параметра
d
i
. Фазовая кривая
˙
y
= Φ(
y
)
удовлетворяет ограничениям (11) на отрезке
y
∈
[
y
0
;
y
∗
]
.
Если условие (12) выполнено, то функция
Φ(
y
)
совпадает с функцией
Ψ(
y
)
на отрезке
y
∈
[
y
0
;
y
∗
]
. Поэтому в соответствии с теоремой 1
управление
u
(
t
) =
Φ(
y
(
t
))
d
Φ(
y
)
dy
y
=
y
(
t
)
−
f
(
y
(
t
)
,
Φ(
y
(
t
)))
g
(
y
(
t
)
,
Φ(
y
(
t
)))
,
где
y
(
t
)
— решение задачи Коши;
dy
dt
= Φ(
y
)
,
y
(0) =
y
0
— решение
терминальной задачи (1)–(4).
Пример.
Представлено решение задачи терминального управления
для системы, описывающей колебания математического маятника
¨
y
= sin(
y
) +
u
(14)
с граничными значениями состояния
ˉ
y
0
=
π
4
0
,
5
т
,
ˉ
y
∗
=
3
π
4
0
,
5
т
(15)
и управления
u
0
=
u
∗
= 0
при наличии ограничений на состояние
системы
0
,
3
<
˙
y <
0
,
7
.
(16)
Фазовая кривая
˙
y
= Ψ(
y
)
(6) на отрезке
[
y
0
;
y
∗
]
, соединяющая на-
чальное положение
ˉ
y
0
с конечным
ˉ
y
∗
, такая, что ограничения (16)
не выполнены. Для того чтобы обеспечить выполнение ограничений,
функция
Ψ(
y
)
заменяется функцией
Φ(
y
)
, алгоритм построения кото-
рой приведен выше.
Двойное неравенство
0
,
3
<
Ψ(
y
)
<
0
,
7
не выполнено на двух
отрезках оси
Oy
:
[
y
l
1
;
y
r
1
] = [1
,
027; 1
,
2158]
;
[
y
l
2
;
y
r
2
] = [1
,
9274; 2
,
1159]
.
Функция
Ψ(
y
)
заменена функцией
˜Ψ
1
(
y
)=Ψ(
y
)+
d
1
ψ
1
(
y
)
,
d
1
=
−
34
,
88
,
22
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2016. № 1