Математическое моделирование диэлектрических свойств наноструктурированных композиционных материалов методом асимптотического осреднения

3 / 14

Решение серии Lp задач и расчет эффективных диэлектриче-
ских характеристик композита. Рассмотрим композиционный ма-
териал, занимающий в пространстве R3 область V c поверхностью
Σ и подверженный воздействию переменного электрического поля
~E(t) = ~E∗eiωt , где ~E— вектор напряженности электрического по-
ля; ω — угловая частота. Область композита V состоит из N фаз
( V =
N S
α=1
Vα): Vα, α = 1, N − 1 — наполнители; V N — матрица. Пред-
полагается, что компоненты композита изотропны, характерный раз-
мер l наполнителей (неоднородностей) намного меньше характерного
размера рассматриваемой области композита (l L). Для описания
установившихся электромагнитных колебаний, длина волны λ = c/ω
которых много больше характерного размера l неоднородностей λ l
(при l = 1000 нм этому условию соответствует широкий диапазон ча-
стот f = ω/(2π) < 10 14 Гц), в каждой области Vα , α = 1, . . . , N , ком-
позита справедлива система уравнений электростатики, являющаяся
следствием уравнений Максвелла [16, 17]:
∂i D∗α
i = 0, xi ∈ V α;
D∗α
i = ε∗α E∗α
i , x i ∈ Vα S Σα;
E∗α
i = ∂iϕ∗α, xi ∈ Vα
ϕ∗α = ϕ∗N , (D∗α
i − D ∗N
i )ni = 0, xi ∈ ΣαN ;
ϕ∗α|Σ1
αe
= ϕ∗
e , D∗α
i ni |P2
αe
= D∗α
e , x i ∈ ΣαN.
(1)
Здесь D ∗α
i — компоненты комплексной амплитуды вектора электриче-
ской индукции; E ∗α
i — компоненты комплексной амплитуды вектора
напряженности электрического поля; ϕ∗α — комплексная амплитуда
электрического потенциала; ε∗α — комплексная амплитуда диэлектри-
ческой проницаемости α -й фазы композита; Σα — поверхности обла-
стей Vα; ΣαN — поверхности контакта матрицы и наполнителя; Σαe —
часть поверхности Σ композита, занятая α-й фазой (для наполнителя
Σα = ΣαN ∪ Σ αe и для матрицы ΣN =
N−1 S
α=1
ΣαN ∪ ΣNe ).
Для композиционного материала с характерным размером l ячей-
ки периодичности (ЯП) введем малый параметр κ = l/L 1 и две
безразмерные координаты ˉxi = xi/L (глобальные), ξi = ˉxi /κ = x i/l
(локальные), где xi — декартовы координаты. В силу периодичности
структуры композита периодической функцией является диэлектриче-
ская проницаемость ε∗(x i ) = ε ∗(xi +ai), ai — длина сторон ЯП, поэтому
ее можно рассматривать как функцию ε∗(ξi ). Для электрического по-
тенциала ϕ∗ строится асимптотического разложения по параметру κ:
78 ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2016. № 1