4 / 14
ϕ
∗
(ˉ
x
i
, ξ
j
) =
=
ϕ
∗
(0)
(ˉ
x
i
) +
κϕ
∗
(1)
(ˉ
x
i
, ξ
j
) +
κ
2
ϕ
∗
(2)
(ˉ
x
i
, ξ
j
) +
. . .
+
κ
n
ϕ
∗
(
n
)
(ˉ
x
i
, ξ
j
) =
=
ϕ
∗
(0)
(ˉ
x
i
) +
∞
X
n
=1
κ
n
ϕ
∗
(
n
)
(ˉ
x
i
, ξ
j
)
.
(2)
Подставляя разложение (2) в систему (1) и собирая члены при разных
членах разложения, для объема ЯП
V
ξ
=
{
ξ
j
:
−
a
j
2
< ξ
j
<
a
j
2
,
j
= 1
,
3
}
получаем следующую постановку задачи электростатики в нулевом
приближении:
D
∗
α
(0)
i/i
= 0
,
x
i
∈
V
ξα
;
D
∗
α
(0)
i
=
ε
∗
α
E
∗
α
(0)
i
,
x
i
∈
V
ξα
;
E
∗
α
(0)
i
= ˉ
E
∗
i
+
ϕ
∗
α
(1)
/i
,
x
i
∈
V
ξα
;
ϕ
∗
α
(1)
=
ϕ
∗
N
(1)
,
(
D
∗
α
(0)
i
−
D
∗
N
(0)
i
)
n
i
= 0
,
x
i
∈
Σ
ξαN
;
< ϕ
∗
α
(1)
>
= 0
,
[[
D
∗
(0)
i
]]
n
i
= 0
,
[[
ϕ
∗
α
(1)
]] = 0
, x
i
∈
Σ
ξαN
.
(3)
Здесь
< ϕ
∗
(1)
>
— операция осреднения по ЯП;
[[
ϕ
∗
(1)
]]
— условия
периодичности;
ˉ
E
∗
i
— средняя напряженность композита.
Задача (3) содержит условия нормировки в виде интегральных
уравнений Вольтера первого рода и условия периодичности на гра-
нице ЯП, что создает определенные трудности при ее численном ре-
шении. Для преобразования этой задачи к задаче с классическими
граничными условиями вводим функции псевдопотенциала
ϑ
∗
α
(
p
)
(
ξ
k
)
:
ϕ
∗
α
(1)
=
3
X
p
=1
ϕ
∗
α
(
p
)
,
(4)
где
ϕ
∗
α
(
p
)
=
−
ˉ
E
∗
i
ξ
p
+
ϑ
∗
α
(
p
)
(
ξ
k
)
;
ϑ
∗
α
(
p
)
(
ξ
k
)
— новые неизвестные функции
ξ
k
,
не являющиеся периодическими.
Рассмотрим случай композитов, ЯП которых обладает централь-
ной симметрией относительно начала локальных координат. Для та-
ких композитов вместо решения на всей ЯП
V
ξ
можно рассмотреть
решение на 1/8 ЯП
˜
V
ξ
: ˜
V
ξ
=
V
ξ
T
(
ξ
i
≥
0)
. Используя выражения (4),
получаем группу трех задач электродинамики композита на 1/8 ЯП
(назовем их задачами
L
p
):
D
∗
α
i
(
p
)
/i
= 0;
D
∗
α
i
(
p
)
=
ε
∗
α
E
∗
α
i
(
p
)
, x
i
∈
( ˜
V
ξ
∪
Σ
0
s
∪
Σ
s
);
E
∗
α
i
(
p
)
=
ϑ
∗
α
(
p
)
/i
, x
i
∈
˜
V
ξ
;
ϑ
∗
α
(
p
)
=
ϑ
∗
N
(
p
)
,
(
D
∗
α
i
(
p
)
−
D
∗
N
i
(
p
)
)
n
i
= 0
, x
i
∈
ˉΣ
ξαN
,
(5)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2016. № 1
79