4 / 10
Кроссли проводили численное интегрирование нелинейного уравне-
ния движения тела в процессе удара. Эта модель является развитием
модели Герца для случая, когда тело и препятствие подчиняются зако-
нам вязкоупругого деформирования. Модель построена в предположе-
ниях, что можно пренебречь волновыми процессами, деформации при
ударе малы, остаточной деформацией можно пренебречь. Эти предпо-
ложения обусловливают ограничения на скорость соударения, исполь-
зуемые материалы, форму и размеры тела. Рассматриваемая модель
справедлива для компактных тел из достаточно жесткого материала
при относительно небольших (до нескольких метров в секунду) ско-
ростях соударения. К недостаткам этой модели удара можно отнести
невозможность абсолютно неупругого удара и стремление коэффици-
ента восстановления к единице при стремлении скорости соударения
к нулю независимо от материала, из которого изготовлены тела.
Модель можно обобщить, приняв
F
=
F
(
x,
˙
x
) =
−
f
(
x
)
−
bf
(
x
) ˙
x
,
где
f
(
x
)
— упругая сила взаимодействия тел при ударе,
f
(0) = 0
и
f
(
x
)
является возрастающей функцией при
x
≥
0
[8].
Первый интеграл уравнений движения тела при ударе получен в ра-
боте [8]. Аналитически построена зависимость коэффициента восста-
новления и потерянной при ударе кинетической энергии от скорости
соударения. Получено решение уравнения движения тела в квадра-
турах.
В настоящей статье рассмотрена нелинейная упругопластическая
модель коллинеарного удара тела о неподвижное препятствие, постро-
енная на основе моделей удара Герца и Ханта – Кроссли. Предположе-
но, что трение между частицами деформируемых в процессе удара тел
является сухим. Получены первые интегралы уравнений движения в
фазах деформирования и восстановления, коэффициент восстановле-
ния и потерянная при ударе кинетическая энергия, их зависимость от
постоянной сухого трения, решение уравнения движения тела в ква-
дратурах. Представлены результаты математического моделирования.
В такой модели удара возможен абсолютно неупругий удар. Коэф-
фициент восстановления меньше единицы и не зависит от скорости
соударения. Последний результат не согласуется с экспериментальны-
ми данными. В связи с этим в дальнейшем предполагается рассмотреть
вязко-упругопластическую модель удара.
Нелинейная упругопластическая модель удара.
Рассмотрим мо-
дель удара аналогичную модели Ханта – Кроссли [3, 6, 8], но предпо-
ложим, что трение между частицами тела деформируемого при ударе
является сухим. Тогда контактная сила взаимодействия тела и препят-
ствия определяется по соотношению
F
=
F
(
x,
˙
x
) =
−
f
(
x
)
−
df
(
x
)sgn ˙
x
,
где
x
— перемещение тела в процессе удара (деформация);
f
(
x
)
—
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2016. № 1
93