6 / 10
решения уравнения
V
(
x
max
) = 0
. В силу (5) значение
x
max
является
решением уравнения
Π(
x
max
) =
m
(
V
−
)
2
2(1 +
d
)
.
(7)
Как уже было отмечено, при
f
(
x
) =
cx
n
потенциальная энергия упру-
гой деформации составляет
Π(
x
) =
cx
n
+1
n
+ 1
, а решение уравнения (7) —
x
max
=
(
n
+ 1)
m
(
V
−
)
2
2
c
(1 +
d
)
1
/
(
n
+1)
.
Соотношения (5), (6) позволяют получить решение уравнений дви-
жения (3), (4) в квадратурах как решение уравнения с разделяющимися
переменными
˙
x
=
V
(
x
)
. В фазе деформирования имеем
x
Z
0
r
m
m
(
V
−
)
2
−
2(1 +
d
)Π(
x
)
dx
=
t,
а в фазе восстановления —
x
max
Z
0
r
m
m
(
V
−
)
2
−
2(1 +
d
)Π(
x
)
dx
−
−
x
Z
x
max
r
m
2(1
−
d
) (Π(
x
max
)
−
Π(
x
))
dx
=
t,
где
x
max
— решение уравнения (7). Эти уравнения определяют в неяв-
ном виде закон движения тела при ударе.
Коэффициент восстановления и потерянная кинетическая
энергия.
В силу того, что в начале и в конце удара
x
= 0
из
первых интегралов уравнений движения (5), (6) получим соотноше-
ние, связывающее начальную и конечную безразмерные скорости при
ударе:
(
V
+
)
2
1 +
d
=
(
V
−
)
2
1
−
d
=
2Π(
x
max
)
m
.
Согласно (1), коэффициент восстановления равен
k
=
r
1
−
d
1 +
d
. За-
висимость коэффициента восстановления от постоянной сухого тре-
ния
d
приведена на рис. 2,
а
. С увеличением постоянной
d
коэффи-
циент восстановления монотонно убывает и становится равным нулю
при
d
= 1
(т.е. удар абсолютно неупругий). При этом коэффициент
восстановления не зависит от скорости соударения, что противоречит
экспериментальным данным [1, 9].
Потерянная при ударе кинетическая энергия
Δ
T
определяется по
соотношению (2). Обозначим через
T
−
кинетическую энергию тела
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2016. № 1
95