При решении системы уравнений (1), как правило, не учитывается
зависимость плотности электронного газа от температуры электронов.
Считается, что температура электронов много меньше температуры
Ферми, поэтому электронный газ является вырожденным и зависимо-
стью плотности электронного газа от температуры пренебрегают.
Однако с ростомэлектронной температуры профиль электронной
плотности будет меняться.
Поскольку при температурах меньше температуры вырождения
электронный газ в металле является вырожденным, то для описания
распределения электронов проводимости в металле по энергиям ис-
пользуется функция распределения Ферми–Дирака
f
(
ε
) =
1
exp
ε
−
μ
k
Б
T
+ 1
,
(2)
где
μ
— химический потенциал,
k
Б
— постоянная Больцмана,
T
—
термодинамическая температура. Величина
μ
является функцией тем-
пературы и определяется из условия постоянства полного числа элек-
тронов в системе, т.е. из условия, что число электронов равно
N
.
Функция распределения Ферми–Дирака (2) дает вероятность того, что
в состоянии теплового равновесии электронного газа при температуре
T
состояние с энергией
ε
занято электроном[9].
Тогда для вырожденного электронного газа формулу (1б) можно
переписать в следующемвиде:
n
(
r
) =
ε<ε
F
|
ψ
ε
(
r
)
|
2
.
Здесь
ε
F
— энергия Ферми, которая в общем случае является функцией
плотности
n
(
r
)
:
ε
F
=
ε
F
(
r
) =
2
2
m
(3
π
2
n
(
r
))
2
3
,
где — приведенная постоянная Планка,
m
— масса электрона.
С учетомформулы (2) получимзависимость концентрации элек-
тронного газа
n
(
r
)
от температуры для случая низких температур:
n
(
r
) =
dεf
(
ε
)
|
ψ
ε
(
r
)
|
2
.
Поскольку электронный газ подчиняется статистике Ферми–Дирака,
то при рассмотрении электронного газа необходимо учитывать прин-
цип Паули. Тогда формулу (2) можно переписать в следующем виде:
f
(
ε
) =
n
1
exp
ε
−
μ
k
Б
T
+ 1
δ
(
ε
−
ε
n
)
,
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 1
21
