где
ε
— полная энергия, приходящаяся на одну частицу;
ε
n
— энергия
частицы на уровне
n
(
n
— главное квантовое число).
Для системы невзаимодействующих фермионов, находящихся при
конечной температуре
T
, плотность ферми-газа примет окончательный
вид
n
(
r
) =
N
i
=1
|
ψ
i
(
r
)
|
2
e
ε
i
−
μ
k
Б
T
+ 1
.
(3)
Систему уравнений (1а) необходимо решать совместно с (3).
Метод решения и результаты вычислений для случая низ-
ких температур.
Для определения
n
(
r , T
)
в случае вырожденного
электронного газа использован метод самосогласованных уравнений
Хоэнберга–Кона–Шэма, согласно которому гамильтониан системы,
представленный в виде (без учета релятивистских эффектов)
ˆ
H
= ˆ
T
+
V
+
W,
(4)
где
ˆ
T
=
N
i
=1
−
1
2
Δ
i
— оператор кинетической энергии;
V
=
N
i
=1
V
(
r
i
)
— потенциал, создаваемый размазаннымположительнымфоном
слагаемое
W
описывает кулоновское взаимодействие электронов
между собой:
W
=
N
i
=2
N
−
1
j<i
W
(
r
i
, r
j
)
,
W
(
r
i
, r
j
) =
1
|
r
i
−
r
j
|
=
1
r
ij
,
заменяется эффективным гамильтонианом
ˆ
H
eff
= ˆ
T
+
V
+
V
ee
,
в котором
V
ee
=
N
i
=1
V
eei
— одночастичный эффективный потенциал, однозначно определяемый
плотностью электронного газа;
V
eei
=
n
(
r
)
r
i
−
r
dr
−
1
π
[3
π
2
n
(
r
i
)]
1
/
3
.
(5)
22
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 1
