вектор магнитной индукции. Из закона Фарадея следует условие без-
дивергентности магнитного поля
div
B
= 0
.
Система (1) замыкается уравнением состояния совершенного газа
p
= (
γ
−
1)
ρε
, где
γ
— показатель адиабаты,
ε
— удельная внутренняя
энергия. Отсюда
e
=
p
γ
−
1
+
ρv
2
2
+
B
2
8
π
. Можно показать, что эта
система гиперболическая [4] и, следовательно, существует разложение
∂ ~F
i
∂~u
=
A
i
=
L
i
Λ
i
R
i
, i
= 1
,
2
,
(2)
где
L
i
и
R
i
— ортогональные матрицы, составленные из левых и пра-
вых собственных векторов,
Λ
i
— действительная диагональная матри-
ца, составленная из собственных чисел матрицы
A
i
.
Для численного решения системы (1) на треугольной неструктури-
рованной сетке применяется разрывный метод Галеркина [3], в соот-
ветствии с которым решение
~u
представляется в виде
~u
=
N
t
X
j
=1
N
b
X
k
=1
~y
j,k
(
t
)
ϕ
j,k
(
x
1
, x
2
)
,
где
N
t
— число ячеек сетки;
N
b
— зависящее от порядка аппроксимации
число базисных функций, определенных в ячейке;
{
ϕ
j,k
(
x
1
, x
2
)
}
N
b
k
=1
—
ортонормированная система базисных функций (полиномов), опреде-
ленных в
j
-й ячейке;
~y
j,k
(
t
)
— вектор коэффициентов при базисных
функциях.
После домножения обеих частей (1) на систему пробных функ-
ций
N
t
[
j
=1
{
ϕ
j,k
(
x
1
, x
2
)
}
N
b
k
=1
, интегрирования по ячейкам и некоторых пре-
образований приходим к системе обыкновенных дифференциальных
уравнений
d~y
j,k
dt
+
3
X
α
=1
Z
S
j
α
~F
(
~y
j
, ~y
m
(
j,α
)
)
ϕ
j,k
dS
−
−
Z
V
j
(
~F
1
, ~F
2
)
r
ϕ
j,k
dV
= 0
, j
= 1
, N
t
, k
= 1
, N
b
,
(3)
где
α
— номер ребра
j
-й ячейки,
m
(
j, α
)
— номер соседней с ней
ячейки,
~F
(
~y
j
, ~y
m
(
j,α
)
)
— численный поток, зависящий от решений в
ячейках, примыкающих к ребру
α
, и определяемый из решения соот-
ветствующей задачи Римана о распаде разрыва.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 4
85
